TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 403

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 16, d.h. alle Restklassen ${\overline {a}}$ mit ggT(a, 16)=1. Man zeige, daß die Menge $\Gamma _{16}$ dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches

Gruppe

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in G,
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$,
• beinhaltet ein neutrales Element $e$: $\quad \forall a:\quad a\circ e=a$
• sowie inverse Elemente: $\forall a\quad \exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e$.

Lösungsvorschlag

$\Gamma _{16}=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$

Überprüfen ob $(\Gamma _{16},*)$ wieder eine Gruppe ist:

• Abgeschlossen: Ungerade * Ungerade = Ungerade, daher ist diese algebraische Struktur abgeschlossen (zumindest Gruppoid)
• Assoziativ: Da Z_{16} eine Gruppe bildet braucht man das Assoziativgesetz nicht überprüfen (zumindest Halbgruppe)
• Existens eine neutralen Elements: 1 (zumindest Monoid)
• Inverses Element: (1,1), (3,11), (5,13), (7,7), (9,9,) (15,15) (tatsächlich Gruppe)

$\Gamma _{16}$ ist sogar eine abelsche Gruppe, da es kommutativ ist!

Links

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 279
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 281