TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 403

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 16, d.h. alle Restklassen $\bar{a}$ mit ggT(a, 16)=1. Man zeige, daß die Menge ${\Gamma }_{16}$ dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Lösungsvorschlag

${\Gamma }_{16}=\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$

Überprüfen ob $({\Gamma }_{16},\ast )$ wieder eine Gruppe ist:

• Abgeschlossen: Ungerade * Ungerade = Ungerade, daher ist diese algebraische Struktur abgeschlossen (zumindest Gruppoid)
• Assoziativ: Da Z_{16} eine Gruppe bildet braucht man das Assoziativgesetz nicht überprüfen (zumindest Halbgruppe)
• Existens eine neutralen Elements: 1 (zumindest Monoid)
• Inverses Element: (1,1), (3,11), (5,13), (7,7), (9,9,) (15,15) (tatsächlich Gruppe)

${\Gamma }_{16}$ ist sogar eine abelsche Gruppe, da es kommutativ ist!

Links

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 279
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 281