TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 474

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Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten a_i aus \mathbb{Q} bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über \mathbb{Q}.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Vektorraum
Vektorraum[Bearbeiten, WP, 3.02 Definition]

Sei (V,+) eine abelsche Gruppe und K ein Körper. (V,+,K) heißt Vektorraum, wenn  \forall \vec{x} , \vec{y} \in V, \forall \lambda, \mu \in K folgendes gilt:

  1. \lambda \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \lambda  \vec{x} + \lambda  \vec{y}
  2. (\lambda + \mu)\cdot\vec{x} = \lambda  \vec{x} + \mu  {x}
  3. (\lambda \cdot \mu) \cdot \vec{x} = \lambda \cdot (\mu \vec{x})
  4. 1 \cdot \vec{x} = \vec{x}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

für (i) Seien \vec x = \sum_{n=0}^4{a_n x^n} und \vec y = \sum_{n=0}^4{b_n x^n} zwei Polynome 4. Grades und k ein Skalar aus K. \lambda (\vec x + \vec y) = \lambda (\sum_{n=0}^4{a_n x^n} + \sum_{n=0}^4{b_n x^n}) = \lambda \sum_{n=0}^4{a_n x^n} + \lambda \sum_{n=0}^4{b_n x^n} somit ist (i) gezeigt

für (ii) wie für (i)

für (iii)?

für (iv)  1 \vec x = 1 \sum_{n=0}^4{a_n x^n} = \sum_{n=0}^4{a_n x^n 1} = \sum_{n=0}^4{a_n x^n}

=> ja, die Menge aller Polynome a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten a_i aus bildet einen Vektorraum über \mathbb{Q}

Fragen[Bearbeiten]

Muss ich da jetzt auch noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation zeigen also

Seien \vec x = \sum_{n=0}^4{a_n x^n} und \vec y = \sum_{n=0}^4{b_n x^n} zwei Polynome 4. Grades.

x + y = \sum_{n=0}^4{a_n x^n} + \sum_{n=0}^4{b_n x^n} = \sum_{n=0}^4{(a_n + b_n) x^n} (Umformungen sind wegen Assoziativität, Kommutativität und Distributivgesetz möglich) => daraus sehen wir, dass der Grad von (x+y) niemals größer als 4 bzw. für die Multiplikation Sei \vec x = \sum_{n=0}^4{a_n x^n} ein Polynom 4. Grades und k ein Element aus k.

k \vec x = k \sum_{n=0}^4{a_n x^n} = \sum_{n=0}^4{k a_n x^n} auch da sieht man, dass sich der Grad des Polynoms nicht vergrößert (auch nicht verkleinert, aber das interessiert uns hier nicht) und somit auch die Skalarmultiplikation abgschlossen ist.