TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 482

Zeigen Sie: Die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $\mathbb {Q}$ bildet mit der üblichen Addition und dem üblichen Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$.

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Hilfreiches

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag

für (i) Seien ${\vec {x}}=\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}$ und ${\vec {y}}=\sum _{n=0}^{4}{b_{n}x^{n}}$ zwei Polynome 4. Grades und k ein Skalar aus K. $\lambda ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda (\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}+\sum _{n=0}^{4}{b_{n}x^{n}})=\lambda \sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}+\lambda \sum _{n=0}^{4}{b_{n}x^{n}}$ somit ist (i) gezeigt

für (ii) wie für (i)

für (iii)?

für (iv) $1{\vec {x}}=1\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}=\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}1}=\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}$

=> ja, die Menge aller Polynome $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}$ vom Grad kleiner gleich 4 mit Koeffizienten $a_{i}$ aus bildet einen Vektorraum über $\mathbb {Q}$

Fragen

Muss ich da jetzt auch noch die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation zeigen also

Seien ${\vec {x}}=\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}$ und ${\vec {y}}=\sum _{n=0}^{4}{b_{n}x^{n}}$ zwei Polynome 4. Grades.

$x+y=\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}+\sum _{n=0}^{4}{b_{n}x^{n}}=\sum _{n=0}^{4}{(a_{n}+b_{n})x^{n}}$ (Umformungen sind wegen Assoziativität, Kommutativität und Distributivgesetz möglich) => daraus sehen wir, dass der Grad von (x+y) niemals größer als 4 bzw. für die Multiplikation Sei ${\vec {x}}=\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}$ ein Polynom 4. Grades und k ein Element aus k.

$k{\vec {x}}=k\sum _{n=0}^{4}{a_{n}x^{n}}=\sum _{n=0}^{4}{ka_{n}x^{n}}$ auch da sieht man, dass sich der Grad des Polynoms nicht vergrößert (auch nicht verkleinert, aber das interessiert uns hier nicht) und somit auch die Skalarmultiplikation abgschlossen ist.