TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 522

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Sei G die Menge aller regulären n \times n Matrizen A über \mathbb{R}. Man zeige, dass \langle G, \cdot\rangle eine Gruppe bildet.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppe
Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[Bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen[Bearbeiten]

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: G \times G = G, für a,b \in G \rightarrow a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion von  \circ : G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Reguläre Matrix[Bearbeiten]

Eine n \times n Matirx A heißt invertierbar, wenn es eine n \times n Matrix B gibt mit A \cdot B = B \cdot A = E_n (wobei E_n die Einheitsmatrix ist)

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element.

Gegenteil ist natürlich singuläre Matrizen - bilden nur ein Monoid!

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

\forall A_1, A_2 \text{ ueber } \mathbb{R}: A_1 \cdot A_2 = A_3 \rightarrow A_3 \text{ ueber } \mathbb{R}

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über \mathbb{R} stehen, werden nur die Operationen +,\cdot ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine n \times n Matrix!

Assoziativität[Bearbeiten]

Seien gegeben: A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Untersuche A \cdot (B \cdot C)

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Untersuche (A \cdot B) \cdot C

(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Neutrales Element[Bearbeiten]

 \exists E_n \forall A_n: E_n \cdot A_n = A_n \cdot E_n = A_n

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Inverses Element[Bearbeiten]

 \exists A_n^{-1} \forall A_n: A_n^{-1} \cdot A_n = A_n \cdot A_n^{-1} = E_n

Inverses Element existiert.

Schlussfolgerung[Bearbeiten]

Es liegt eine Gruppe vor!