TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 530
Sei G die Menge aller regulären Matrizen A über . Man zeige, dass eine Gruppe bildet.
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oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Gruppe ist
- abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
- assoziativ: ,
- beinhaltet ein neutrales Element :
- sowie inverse Elemente: .
Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.
Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:
- Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
- Assoziativgesetz: für alle .
- Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
- Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
- Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe 1 X X X X X 2 X X X X 3 X X X 4 X X 5 X
Reguläre Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Matirx A heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt mit (wobei die Einheitsmatrix ist)
Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element.
Gegenteil ist natürlich singuläre Matrizen - bilden nur ein Monoid!
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über stehen, werden nur die Operationen ausgeführt, daher abgeschlossen.
Einfacher: Es ergibt sich wieder eine Matrix!
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Seien gegeben:
Untersuche
Untersuche
Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.
Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Inverses Element existiert. Man kann davon ausgehen, dass es für alle Matrizen in G jeweils eine inverse Matrix gibt, da in der Angabe G als die Menge aller regulären ... Matrizen festgelegt ist. Reguläre Matrix bedeutet per Definition, dass eine Matrix invertierbar ist.
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt eine Gruppe vor!