TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 530

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Sei G die Menge aller regulären Matrizen A über . Man zeige, dass eine Gruppe bildet.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppe
Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gruppe ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
  • assoziativ: ,
  • beinhaltet ein neutrales Element :
  • sowie inverse Elemente: .

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: , für (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion von
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Reguläre Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Matirx A heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt mit (wobei die Einheitsmatrix ist)

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element.

Gegenteil ist natürlich singuläre Matrizen - bilden nur ein Monoid!

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über stehen, werden nur die Operationen ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine Matrix!

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien gegeben:

Untersuche

Untersuche

Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Inverses Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Inverses Element existiert. Man kann davon ausgehen, dass es für alle Matrizen in G jeweils eine inverse Matrix gibt, da in der Angabe G als die Menge aller regulären ... Matrizen festgelegt ist. Reguläre Matrix bedeutet per Definition, dass eine Matrix invertierbar ist.

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt eine Gruppe vor!