TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 587

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Gegeben sei die lineare Funktion f : \R^2 \rightarrow \R^2 \text{ mit } (2,1) \mapsto(-2,4) \text{ und } (-3,0)\mapsto(0,-6)

(a) Geben Sie eine geometrische Interpretation von f

(b) Wie lautet die Matrixdarstellung für f (bezüglich der kanonischen Basis)?

(c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem  f(x,y) = (8,6)

(d) Geben Sie sämtliche Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren von f an (anschauliche Begründung genügt).

Hilfreiches[Bearbeiten]

Eigenwertäquivalenz
Eigenwertäquivalenz[Bearbeiten, 3.70 Satz]

Ein Skalar \lambda \in K ist genau dann ein Eigenwert einer quadratischen Matrix  A \in K^{n,n}, wenn \det(\lambda \cdot I_{n} - A) = 0.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Piri (Diskussion) 22:12, 29. Dez. 2018 (CET)

(a) Die Funktion dreht die Vektoren um 90° gegen den Uhrzeigersinn und verdoppelt ihre Länge.

(b) 
(-3,0) \mapsto (0,-6) \Rightarrow (1,0) \mapsto (0, 2)
\qquad (2,1) \mapsto (-2,4) \Rightarrow (0,1) \mapsto (-2,0)
\quad \Rightarrow \quad
A_{K} =
\begin{pmatrix}
0 & -2 \\
2 & 0
\end{pmatrix}

(c) 
 \begin{pmatrix}
0 & -2 & 8 \\
2 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\quad \rightarrow \quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -4 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}

\quad \Rightarrow \quad 

x = 3, y = -4

(d) Da alle Vektoren um 90° gedreht werden ist \vec{x} immer linear unabhängig zu f(\vec{x}) also kann es kein  \vec{x} geben, sodass  f(\vec{x}) = \lambda \cdot \vec{x}

Um das zu überprüfen setzt man in die Äquivalente Definition eines Eigenwerts ein und sieht, dass es keine gibt:

 \mathit{det}(\lambda\cdot I_{2} - A) =

\begin{vmatrix}
\lambda & 2 \\
-2 & \lambda
\end{vmatrix}

= \lambda^2 + 4

Nur komplexe Lösungen, also existiert kein Eigenwert in \R!