TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 597

Gegeben sei die lineare Funktion $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2\text{ mit }(2,1)\mapsto (-2,4)\text{ und }(-3,0)\mapsto (0,-6)$

(a) Geben Sie eine geometrische Interpretation von $f$

(b) Wie lautet die Matrixdarstellung für $f$ (bezüglich der kanonischen Basis)?

(c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem $f(x,y)=(8,6)$

(d) Geben Sie sämtliche Eigenwerte mit zugehörigen Eigenvektoren von $f$ an (anschauliche Begründung genügt).

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Eigenwertäquivalenz

Eigenwertäquivalenz

Ein Skalar $\lambda \in K$ ist genau dann ein Eigenwert einer quadratischen Matrix $A\in K^{n,n}$, wenn $det(\lambda \cdot I_n-A)=0$.

Lösungsvorschlag

von --Piri (Diskussion) 22:12, 29. Dez. 2018 (CET)

(a) Die Funktion dreht die Vektoren um 90° gegen den Uhrzeigersinn und verdoppelt ihre Länge.

(b) $(-3,0)\mapsto (0,-6)\Rightarrow (1,0)\mapsto (0,2)(2,1)\mapsto (-2,4)\Rightarrow (0,1)\mapsto (-2,0)\Rightarrow A_K=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right)$

(c) $\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 8\\ 2& 0& 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}0& 1& -4\\ 1& 0& 3\end{array}\right)\Rightarrow x=3,y=-4$

(d) Da alle Vektoren um 90° gedreht werden ist $\overrightarrow{x}$ immer linear unabhängig zu $f(\overrightarrow{x})$ also kann es kein $\overrightarrow{x}$ geben, sodass $f(\overrightarrow{x})=\lambda \cdot \overrightarrow{x}$

Um das zu überprüfen setzt man in die Äquivalente Definition eines Eigenwerts ein und sieht, dass es keine gibt:

$𝑑𝑒𝑡(\lambda \cdot I_2-A)=\left|\begin{array}{cc}\lambda & 2\\ -2& \lambda \end{array}\right|={\lambda }^2+4$

Nur komplexe Lösungen, also existiert kein Eigenwert in $ℝ$!