TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 389

Sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $e$ das neutrale Element von $G$. Man zeige, daß $\phi (e)$ das neutrale Element von $H$ ist. (Hinweis: Man verwende Beispiel 248).

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Hilfreiches

Definition:

Seien $<G,\circ >$ und $<H,\star >$ Gruppen.

Eine Abbildung $\phi :G\to H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\star \phi (b)\mathrm{\forall }a,b\in G$.

Definition:

$e$ heißt neutrales Element von $\circ$, wenn $\mathrm{\forall }a\in M:a\circ e=e\circ a=a$

Lösungsvorschlag

Weil es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, gilt

$\phi (a\circ b)=\phi (a)\star \phi (b)\mathrm{\forall }a,b\in G$

Wenn wir jetzt nicht zwei verschiedene Elemente von G miteinander verknüpfen, sondern a = b = $e_G$ setzen, erhalten wir

$\phi (e_G\circ e_G)=\phi (e_G)\star \phi (e_G)$

$\phi (e_G)=\phi (e_G)\star \phi (e_G)$

Wir haben also ein Elemtent $\phi (e_G)\in H$ gefunden, das mit sich selbst verknüpft (mit der Operation $\star$) wieder sich selbst ergibt. Und wie wir aus Beispiel 248 wissen, muss es deshalb das neutrale Element sein. Also gilt

$\phi (e_G)=e_H$

mfg, W wallner

Links

• Hilfreich: Beispiel 248
• Ähnlich:
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 265
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 266
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 268
• Wikipädia:
  • Gruppenhomomorphismus
  • neutrales Element