TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 458

Bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2}),\lambda \cdot (x_{1},x_{2})=(0,\lambda \cdot x_{2})$.

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Allgemein

Ein Vektorraum $(V,+,K)$, wobei $K$ ein Körper ist und $(V,+)$ eine abelsche Gruppe bildet, erfüllt folgende Eigenschaften:

$\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$

-) $\lambda *({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$

-) $(\lambda +\mu )*{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$

-) $(\lambda *\mu )*{\vec {x}}=\lambda *(\mu {\vec {x}})$

-) $1*{\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag

Überprüfen ob $(V,+)$ eine abelsche Gruppe ist:

Abgeschlossenheit

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2})$

Da hier wieder ein Vektor raus kommt, ist es abgeschlossen.

Assoziativgesetz

$(x_{1},x_{2})+((y_{1},y_{2})+(z_{1},z_{2}))=((x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2}))+(z_{1},z_{2})=(0,x_{2}+y_{2}+z_{2})$

Assoziativ, da Addition assoziativ ist.

neutrales Element

$(x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(0,x_{2}+e_{2})=(0,x_{2})$

laut Definition sollte aber:

$(x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(x_{1},x_{2})$

rauskommen.

Somit bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit der angegebenen Operation kein Vektorraum über $\mathbb {R}$.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:25, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?

$(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2}),\lambda \odot (x_{1},x_{2})=(0,\lambda \cdot x_{2})$.

Addition $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus \rangle$: abelsche Gruppe:

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Kommutativ: Zu zeigen: $\forall \,{\vec {x}}=(x_{1},x_{2}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2})\,\in \mathbb {R} ^{2}\colon \,{\vec {x}}\oplus {\vec {y}}={\vec {y}}\oplus {\vec {x}}\colon \,$

${\vec {x}}\oplus {\vec {y}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2})=(0,y_{2}+x_{2})=\quad {\color {red}\mathbb {X} }$: Es fehlt das inverses Element.

• Neutrale Element: Zu zeigen: $\exists \,{\vec {0}}\in R^{2}$ mit ${\vec {x}}={\vec {0}}+{\vec {x}}={\vec {x}}+{\vec {0}}\colon$

${\vec {x}}+{\vec {0}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2})\implies (x_{1},x_{2})\neq (0,x_{2}+y_{2})$, auch nicht mit $y_{2}=0\colon \,{\vec {x}}\oplus {\vec {0}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},0)=(0,x_{2})$.

Sei ${\vec {x}}=(1,2)\in \mathbb {R} ^{2}$, dann ist ${\vec {x}}\oplus {\vec {0}}=(1,2)\oplus (y_{1},0)=(0,2)\neq (1,2)$. Es gibt kein neutrales Element ${\vec {0}}$. $\quad {\color {red}\mathbb {X} }$.

Damit kann $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\odot ,\mathbb {R} \rangle$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus ,\odot \rangle$ ist ${\color {red}kein}$ Vektorraum über $\mathbb {R}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

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