TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 462

Bildet $V=\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?
$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2}),\lambda \cdot (x_{1},x_{2})=(x_{1},\lambda \cdot x_{2})$ .

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 00:13, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet $V=\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?

$(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2}),\lambda \odot (x_{1},x_{2})=(x_{1},\lambda \cdot x_{2})$ .

Addition $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus \rangle$ : abelsche Gruppe:

\implies

Die vorgegebene Addition ist nicht invertierbar.

\quad {\color {red}\mathbb {X} }

Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

Kommutativ: Zu zeigen: $\forall \,{\vec {x}}=(x_{1},x_{2}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2})\,\in \mathbb {R} ^{2}\colon \,{\vec {x}}\oplus {\vec {y}}={\vec {y}}\oplus {\vec {x}}\colon \,$

{\vec {x}}\oplus {\vec {y}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2})=(0,y_{2}+x_{2})=\quad {\color {red}\mathbb {X} }

: Es fehlt das inverses Element.

Neutrale Element: Zu zeigen: $\exists \,{\vec {0}}\in R^{2}$ mit ${\vec {x}}={\vec {0}}\oplus {\vec {x}}={\vec {x}}\oplus {\vec {0}}\colon$

{\vec {x}}\oplus {\vec {0}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(0,x_{2}+y_{2})\implies (x_{1},x_{2})\neq (0,x_{2}+y_{2})

, auch nicht mit

y_{2}=0\colon \,{\vec {x}}\oplus {\vec {0}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},0)=(0,x_{2})

Es gibt kein neutrales Element

{\vec {0}}

.

\quad {\color {red}\mathbb {X} }

Damit kann $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\odot ,\mathbb {R} \rangle$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus ,\odot \rangle$ ist ${\color {red}kein}$ Vektorraum über $\mathbb {R}$ . $\qquad \qquad \blacksquare$