TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 462

Bildet $V={ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(0,x_2+y_2),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(x_1,\lambda \cdot x_2)$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:13, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet $V={ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0,x_2+y_2),\lambda \odot (x_1,x_2)=(x_1,\lambda \cdot x_2)$.

Addition $⟨V={ℝ}^2,\oplus ⟩$: abelsche Gruppe:

$⟹$ Die vorgegebene Addition ist nicht invertierbar. $𝕏$

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Kommutativ: Zu zeigen: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2)\in {ℝ}^2:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\oplus \overrightarrow{x}:$

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0,x_2+y_2)=(0,y_2+x_2)=𝕏$: Es fehlt das inverses Element.

• Neutrale Element: Zu zeigen: $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in R^2$ mit $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\oplus \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}:$

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0,x_2+y_2)⟹(x_1,x_2)\ne (0,x_2+y_2)$, auch nicht mit $y_2=0:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,0)=(0,x_2)$ Es gibt kein neutrales Element $\overrightarrow{0}$. $𝕏$

Damit kann $⟨V={ℝ}^2,\odot ,ℝ⟩$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ ist $kein$ Vektorraum über $ℝ$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_457
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_458
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_459
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_460
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_461