TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 459

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_2+y_1,x_1+y_2),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2)$.

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Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 01:25, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_2+y_1,x_1+y_2),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,\lambda \cdot x_2)$.

Addition $⟨V={ℝ}^2,\oplus ⟩$: abelsche Gruppe:

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Neutrale Element: Z.z.: $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in {ℝ}^2:\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\oplus \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{0}=(y_1,y_2):(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_2+y_1,x_1+y_2)⟹y_1=y_2=0$.

Sei $x=(1,0)⟹(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(0+y_1,1+y_2)⟹y_1=x_1,y_2=x_2$, was natürlich in der Regel nicht der Fall ist. Sei $\overrightarrow{0}=(0,0)⟹(1,0)\oplus (0,0)=(0,1)\ne (1,0)$.

$⟹$ Es gibt $\text{kein}$ neutrales Element. $\mathbf{\times }$

Damit kann $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ kein Vektorraum über $>ℝ$ sein.

Gesamtergebnis: $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ ist $kein$ Vektorraum über $ℝ$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

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Dateien:

• Datei:Mathe1-sol.pdf