TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 460

Bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1}),\lambda (x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2})$.

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Lösungsvorschlag von neo

$({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}})+{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{2}\\a_{2}+b_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{2}+c_{2}\\a_{2}+b_{1}+c_{1}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+({\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}+c_{2}\\b_{2}+c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{2}+c_{1}\\a_{2}+b_{1}+c_{2}\end{pmatrix}}$

$(\mathbb {R} ^{2},+)$ ist nicht assoziativ, daher auch kein Vektorraum.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203

-- Har203 01:11, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet $\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1}),\lambda (x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2})$.

Addition $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus \rangle$: abelsche Gruppe:

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Kommutativität: Z.z.: ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2}),\,{\vec {y}}=(y_{1},y_{2})\,\in \mathbb {R} ^{2}\implies {\vec {x}}\oplus {\vec {y}}={\vec {y}}\oplus {\vec {x}}$.

${\vec {x}}\oplus {\vec {y}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1})=(y_{2}+x_{1},y_{1}+x_{2})=(y_{2},y_{1})\oplus (x_{2},x_{1})\implies$ das Kommutativgesetz gilt nicht. $\quad {\color {red}\mathbf {\times } }$

• Neutrale Element: Z.z.: $\exists {\vec {0}}\in \mathbb {R} ^{2}\colon \,\forall \,{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{2}\colon {\vec {x}}={\vec {0}}\oplus {\vec {x}}={\vec {x}}\oplus {\vec {0}}$

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2}),\,{\vec {0}}=(y_{1},y_{2})\colon \,(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1})\implies y_{1}=y_{2}=0$. Es existiert ein rechts-neutrales Element $(0,0)$.

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2}),\,{\vec {0}}=(y_{1},y_{2})\colon \,(0,0)\oplus (y_{1},y_{2})=(y_{2},y_{1})$. Sei nun ${\vec {y}}=(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}\implies (0,0)\oplus (y_{1},y_{2})=(1,0)\neq (0,1)$. Es gibt ${\color {red}{\text{kein}}}$ links-neutrales Element. $\quad {\color {red}\mathbf {\times } }$

Damit kann $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus ,\odot \rangle$ kein Vektorraum über $>\mathbb {R}$ sein.

Gesamtergebnis: $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus ,\odot \rangle$ ist ${\color {red}kein}$ Vektorraum über $\mathbb {R}$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

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