TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 460

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_2,x_2+y_1),\lambda (x_1,x_2)=(\lambda x_1,\lambda x_2)$.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag von neo

$(\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right))+\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_2\\ a_2+b_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_2+c_2\\ a_2+b_1+c_1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+(\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1+c_2\\ b_2+c_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_2+c_1\\ a_2+b_1+c_2\end{array}\right)$

$({ℝ}^2,+)$ ist nicht assoziativ, daher auch kein Vektorraum.

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

-- Har203 01:11, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet ${ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_2,x_2+y_1),\lambda (x_1,x_2)=(\lambda x_1,\lambda x_2)$.

Addition $⟨V={ℝ}^2,\oplus ⟩$: abelsche Gruppe:

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Kommutativität: Z.z.: $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2)\in {ℝ}^2⟹\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\oplus \overrightarrow{x}$.

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_1+y_2,x_2+y_1)=(y_2+x_1,y_1+x_2)=(y_2,y_1)\oplus (x_2,x_1)⟹$ das Kommutativgesetz gilt nicht. $\mathbf{\times }$

• Neutrale Element: Z.z.: $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in {ℝ}^2:\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in {ℝ}^2:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\oplus \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{0}=(y_1,y_2):(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_1+y_2,x_2+y_1)⟹y_1=y_2=0$. Es existiert ein rechts-neutrales Element $(0,0)$.

$\overrightarrow{x}=(x_1,x_2),\overrightarrow{0}=(y_1,y_2):(0,0)\oplus (y_1,y_2)=(y_2,y_1)$. Sei nun $\overrightarrow{y}=(0,1)\in {ℝ}^2⟹(0,0)\oplus (y_1,y_2)=(1,0)\ne (0,1)$. Es gibt $\text{kein}$ links-neutrales Element. $\mathbf{\times }$

Damit kann $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ kein Vektorraum über $>ℝ$ sein.

Gesamtergebnis: $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ ist $kein$ Vektorraum über $ℝ$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

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