TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 461

Bildet $V={ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,x_2)$.

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Lösungsvorschlag von neo

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+e_1\\ a_2+e_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ 0\end{array}\right)$

$({ℝ}^2,+)$ hat kein neutrales Element und ist daher auch keine abelsche Gruppe.
$\Rightarrow$ kein Vektorraum

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag von Har203

-- Har203 00:27, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet $V={ℝ}^2$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $ℝ$ ?

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,0),\lambda \cdot (x_1,x_2)=(\lambda \cdot x_1,x_2)$.

Addition $⟨V={ℝ}^2,\oplus ⟩$: abelsche Gruppe:

$⟹$ Die vorgegebene Addition ist nicht invertierbar. $𝕏$

• Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

• Neutrale Element: Zu zeigen: $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}\in R^2$ mit $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}\oplus \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}:$

$\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,y_2)=(x_1+y_1,0)⟹(x_1+y_1,0)\ne (x_1,x_2)$, auch nicht mit $y_1=0:\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{0}=(x_1,x_2)\oplus (y_1,0)=(x_1,0)$ Es gibt kein neutrales Element $\overrightarrow{0}$. $𝕏$

Damit kann $⟨V={ℝ}^2,\odot ,ℝ⟩$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $⟨V={ℝ}^2,\oplus ,\odot ⟩$ ist $kein$ Vektorraum über $ℝ$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum

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