TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 461

Bildet $V=\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?
$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda \cdot (x_{1},x_{2})=(\lambda \cdot x_{1},x_{2})$ .

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von neo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+e_{1}\\a_{2}+e_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\0\end{pmatrix}}$

$(\mathbb {R} ^{2},+)$ hat kein neutrales Element und ist daher auch keine abelsche Gruppe.
$\Rightarrow$ kein Vektorraum

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

-- Har203 00:27, 4. Mär. 2026 (CET)

Bildet $V=\mathbb {R} ^{2}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\mathbb {R}$ ?

$(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda \cdot (x_{1},x_{2})=(\lambda \cdot x_{1},x_{2})$ .

Addition $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus \rangle$ : abelsche Gruppe:

\implies

Die vorgegebene Addition ist nicht invertierbar.

\quad {\color {red}\mathbb {X} }

Abgeschlossen: klar, ohne Beweis.

Neutrale Element: Zu zeigen: $\exists \,{\vec {0}}\in R^{2}$ mit ${\vec {x}}={\vec {0}}\oplus {\vec {x}}={\vec {x}}\oplus {\vec {0}}\colon$

{\vec {x}}\oplus {\vec {0}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0)\implies (x_{1}+y_{1},0)\neq (x_{1},x_{2})

, auch nicht mit

y_{1}=0\colon \,{\vec {x}}\oplus {\vec {0}}=(x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},0)=(x_{1},0)

Es gibt kein neutrales Element

{\vec {0}}

.

\quad {\color {red}\mathbb {X} }

Damit kann $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\odot ,\mathbb {R} \rangle$ kein Vektorraum sein.

Gesamtergebnis: $\langle V=\mathbb {R} ^{2},\oplus ,\odot \rangle$ ist ${\color {red}kein}$ Vektorraum über $\mathbb {R}$ . $\qquad \qquad \blacksquare$