TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 475

Sei $V$ Vektorraum aller Funktionen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ über $K=\mathbb {R} ,W$ die Menge aller ungeraden Funktionen in $V$, d. h. aller Funktionen $f$, für die gilt: $f(x)=-f(-x)$, für alle $x\in \mathbb {R}$.

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist.

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Lösungsvorschlag von neo

Seien $f,gf\neq g$ zwei Funktionen aus $W$
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-f(-x)-g(-x)=(-f-g)(-x)=-(f+g)(-x)$
$\Rightarrow$ Addition abgeschlossen

$\lambda \in \mathbb {R} :$
$f(x)=(-f(-x))$
$\lambda f(x)=\lambda (-f(-x))$
$\Rightarrow$ Skalare Multiplikation abgeschlossen

Es gilt: $V$ ist der Vektorraum aller Funktionen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
Daher muss es auch die Funktion $e:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $e(x)=0$ geben. Daraus folgt: $\forall v\in V:\exists e\in V:v(x)+e(x)=v(x)\to v(x)+0=v(x)$
Da $e(x)=-e(-x)=0\Rightarrow e\in W$
$\Rightarrow$ neutrales Element ist $e$

$\Rightarrow \,\,W$ ist ein Unterraum

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:31, 28. Feb. 2026 (CET)

Sei $V$ Vektorraum aller Funktionen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ über $K=\mathbb {R} ,W$ die Menge aller ungeraden Funktionen in $V$, d. h. aller Funktionen $f$, für die gilt: $f(x)=-f(-x)$, für alle $x\in \mathbb {R}$.

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist.

Gegeben: $V=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ und $W=\{f\in V\,\vert \,f(x)=-f(-x),\,\forall x\in \mathbb {R} \}$.

Nicht leer:

• $W\neq \emptyset$, da $f(x)=0\,\forall x\in \mathbb {R} ,\,f(x)=0=-f(-x)\implies f\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $f,\,g\in W\implies f(x)=-f(-x),\,g(x)=-g(-x)\,\forall \,x\in \mathbb {R} \implies \forall \,x\in \mathbb {R} \colon \,(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-(f+g)(-x)\implies (f+g)\in W$.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Sei $f\,\in W\implies f(x)=-f(-x)\,\forall \,x\in \mathbb {R} ,\,\lambda \in \mathbb {R} \colon \,(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)=-\lambda \cdot f(-x)=-(\lambda \cdot f)(-x),\forall \,x\in \mathbb {R} \implies (\lambda \cdot f)\in W$.

Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich Addition sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation folgt $W\leq V$. Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $V$. $\qquad \qquad \blacksquare$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_476