Untersuchen Sie, ob
Teilraum des Vektorraums
über
ist. Sei
der Vektorraum aller Funktionen
über
die Menge aller ungeraden Funktionen in
, d. h. aller Funktionen
, für die gilt:
, für alle
.
Seien
zwei Funktionen aus ![{\displaystyle W}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276&mode=mathml)
![{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-f(-x)-g(-x)=(-f-g)(-x)=-(f+g)(-x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=de5a02ea18f53af65015c711a460fe35&mode=mathml)
Addition abgeschlossen
![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} :}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=40f30eb6d338c81f1eb7e6b8509afae5&mode=mathml)
![{\displaystyle f(x)=(-f(-x))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=13b0a0de940f3a42fe636d42465e24b9&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda f(x)=\lambda (-f(-x))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dbe11a051309f399968e79e5da64c071&mode=mathml)
Skalare Multiplikation abgeschlossen
Es gilt:
ist der Vektorraum aller Funktionen ![{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e991c6bf53b5c73247915b4c75d15c42&mode=mathml)
Daher muss es auch die Funktion
mit
geben. Daraus folgt:
![{\displaystyle \forall v\in V:\exists e\in V:v(x)+e(x)=v(x)\to v(x)+0=v(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0b4db3d8781eba9b1e156e834dea671d&mode=mathml)
Da ![{\displaystyle e(x)=-e(-x)=0\Rightarrow e\in W}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7ee4ca53c8c011ece1aa66f423a0a12d&mode=mathml)
neutrales Element ist ![{\displaystyle e}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e1671797c52e15f763380b45e841ec32&mode=mathml)
ist ein Unterraum