TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 137

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{(\log _{2}x,x)\ |\ x\in \mathbb {R} _{+}\},A=B=\mathbb {R}$

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Hilfreiches

Relation

Relation

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts $A\times B$. Ist $\!\ A=B$ so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von $(a,b)\in R$ schreibt man auch $\!\ aRb$, anstelle von $(a,b)\notin R$ auch $aR\!\!\!/b$.

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})$ oder äquivalent: $a_{1},a_{2}\in A,f(a_{1})=f(a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\forall b\in B\ \exists a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

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WARNUNG: Siehe https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)

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Eine andere Schreibweise für $aRb$ ist definitionsgemäß $f(a)=b$.

In diesem Fall bedeutet das:

${\begin{array}{rcl}f(\log _{2}x)&=&x\\\Rightarrow f(x)&=&2^{x}\end{array}}$

Um zu überprüfen ob dieses eine Funktion ist, kurz folgende Überlegung: $log_{2}x\in A$ und Logarithmen (egal welcher Basis) nimmt mit $x<1$ negative Werte. Und positive Werte sind auch abgebildet. Somit kann man alle Werte einsetzen, und bekommt einen Wert.

Injektivität: Eine Abbildung $f:A\rightarrow B$ heißt injektiv dann, wenn für alle $b\in B$ höchstens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Angenommen, $f(x_{1})=f(x_{2})=x$, wobei $x_{1}\neq x_{2},\ x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} _{+}$:

${\begin{array}{rcll}f(x_{1})&=&f(x_{2})\\2^{x_{1}}&=&2^{x_{2}}&\quad |\ \log _{2}\\\log _{2}2^{x_{1}}&=&\log _{2}2^{x_{2}}\\x_{1}&=&x_{2}\end{array}}$

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle $b\in B$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Diese Eigenschaft ist hier nicht erfüllt, da der Ausdruck $2^{x}$ nur für alle $x\in \mathbb {R} _{+}$ definiert ist. Die Funktion zeigt (aufgrund der Definition $x\in \mathbb {R} _{+}$) nur auf auf $\mathbb {R} _{+}$ müsste aber auf ganz $\mathbb {R}$ zeigen um bijektiv bzw surjektiv zu sein.

Ist eine Abbildung injektiv, aber nicht surjektiv, so ist sie nicht bijektiv.

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_{f}\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $aR_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.