TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 173

Wieviel verschiedene Tipps müssen beim Lotto "6 aus 45" abgegeben werden, um sicher einen Sechser zu erzielen? Wieviele verschiedene Tipps führen zu keinem Gewinn (d.h. max. 2 richtige Zahlen), bei wievielen möglichen Tipps stimmt mindestens eine, bei wievielen sind alle Zahlen falsch?

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Hilfreiches

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

$\forall n,k\in \mathbb {N} ,k\leq n:\qquad {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

Äquivalente Definition (Merkregel): ${\binom {n}{k}}={\frac {\overbrace {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)} ^{k\;{\text{Glieder}}}}{\underbrace {1\cdot 2\cdots k} _{k\;{\text{Glieder}}}}}$ Spezialfall: ${\tbinom {n}{0}}:=1$

• Produktregel: Für stochastisch unabhängige Ereignisse A und B werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Diese Regel wird verwendet, wenn man "Sowohl Ereignis A als auch Ereignis B sollen eintreffen" sagen kann.
• Summenregel: Für stochastisch abhängige Ereignisse A und B werden die Wahrscheinlichkeiten addiert. Diese Regel wird verwendet, wenn man "Es trifft entweder Ereignis A oder Ereignis B oder beide gleichzeitig" sagen kann.

Lösung

Tipps, um sicher einen Sechser zu erzielen

Es gibt ${45 \choose 6}$ mögliche Tipps, davon ist einer ein Sechser, also müssen ${45 \choose 6}$ Tipps abgegeben werden.

Tipps ohne Gewinn (max. zwei richtig)

Bei den Tipps wendet man folgende Argumentation an: Wir ziehen 0, 1 oder 2 Zahlen aus den richtigen 6 Zahlen und entsprechend 6, 5 oder 4 Zahlen aus den nicht richtigen restlichen 39 Zahlen. Anders gesagt, für 2 Richtige muss man 4 Zahlen aus den 6 gezogenen Gewinnzahlen und die restlichen 2 aus den 39 Nieten ankreuzen.

• Mögliche Tipps ohne richtige Zahlen ${6 \choose 0}{39 \choose 6}$
• Mögliche Tipps mit 1 richtigen Zahl ${6 \choose 1}{39 \choose 5}$
• Mögliche Tipps mit 2 richtigen Zahlen ${6 \choose 2}{39 \choose 4}$

Für alle möglichen Tipps ohne Gewinn müssen die möglichen Tipps nun addiert werden.

Tipps ohne Gewinn ${6 \choose 0}{39 \choose 6}+{6 \choose 1}{39 \choose 5}+{6 \choose 2}{39 \choose 4}=7950930$

Tipps mit mindestens 1 richtigen

Hier ist die Gegenwahrscheinlichkeit gefragt. Statt dass man die die Anzahl der Tipps mit 1, 2, ... 6 Richtigen berechnet, berechnet man alle möglichen Tipps und zieht die Tipps mit 0 richtigen Zahlen ab.

• Mögliche Tipps: ${45 \choose 6}$
• Tipps ohne richtige Zahlen: ${6 \choose 0}{39 \choose 6}$
• Tipps mit mindestens einer Richtigen: ${45 \choose 6}-{6 \choose 0}{39 \choose 6}=4882437$

Tipps ohne richtige Zahlen

• Tipps ohne richtige Zahlen: ${6 \choose 0}{39 \choose 6}=3262623$

-- Isofx 15:39, 30. Jan. 2012 (CET)

-- Superwayne (Diskussion) 18:17, 16. Nov. 2014 (CET) (Ergänzungen)