TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 218

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

$x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n},n=0,1,2,\dots$

mit $x_0\ne -1,-1/2,-1/3,\dots$.

(Hinweis: Man benütze die Transformation $x_n=1/y_n$.)

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1}=a{x}_n+b$, $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_n=a^n{x}_0+(1+a+\dots +a^{n-1})b=\{\begin{array}{cc}{a}^n{x}_0+b\frac{a^n-1}{a-1}& \text{ für }a\ne 1\\ x_0+bn& \text{ für }a=1\end{array}$.

Lösungsvorschlag

Transformation ($x_n=\frac{1}{y_n}$ und $x_{n+1}=\frac{1}{y_{n+1}}$ einsetzen:

$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& =\frac{x_n}{1+x_n}\\ \frac{1}{y_{n+1}}& =\frac{\frac{1}{y_n}}{1+\frac{1}{y_n}}\\ y_{n+1}& =\frac{1+\frac{1}{y_n}}{\frac{1}{y_n}}\\ y_{n+1}& =y_n+1\end{array}$

Nun kann man in die Formel mit $a=1$ und $b=1$ einsetzen und rücktransformieren:

$\begin{array}{cc}{y}_n& =y_0+1\cdot n\\ \frac{1}{x_n}& =\frac{1}{x_0}+n\\ x_n& =\frac{1}{\frac{1}{x_0}+n}\\ x_n& =\frac{x_0}{1+n\cdot x_0}\end{array}$

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 09:49, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 17:48, 18. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 78

Links

• Diskussion zum dem Bsp. --Markus Nemetz 09:50, 9. Jun 2006 (CEST)
• Diskussion zum dem Bsp.