TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 473

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist. Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ über $K=\mathbb {R} ,W$ die Menge aller ungeraden Funktionen in $V$ , d. h. aller Funktionen $f$, für die gilt: $f(x)=-f(-x)$ , für alle $x\in \mathbb {R}$.

Lösungsvorschlag von neo

Seien $f,gf\neq g$ zwei Funktionen aus $W$
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-f(-x)-g(-x)=(-f-g)(-x)=-(f+g)(-x)$
$\Rightarrow$ Addition abgeschlossen

$\lambda \in \mathbb {R} :$
$f(x)=(-f(-x))$
$\lambda f(x)=\lambda (-f(-x))$
$\Rightarrow$ Skalare Multiplikation abgeschlossen

Es gilt: $V$ ist der Vektorraum aller Funktionen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
Daher muss es auch die Funktion $e:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $e(x)=0$ geben. Daraus folgt: $\forall v\in V:\exists e\in V:v(x)+e(x)=v(x)\to v(x)+0=v(x)$
Da $e(x)=-e(-x)=0\Rightarrow e\in W$
$\Rightarrow$ neutrales Element ist $e$

$\Rightarrow \,\,W$ ist ein Unterraum