TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 475

Sei $V$ Vektorraum aller Funktionen $f:ℝ\to ℝ$ über $K=ℝ,W$ die Menge aller ungeraden Funktionen in $V$, d. h. aller Funktionen $f$, für die gilt: $f(x)=-f(-x)$, für alle $x\in ℝ$.

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von neo

Seien $f,gf\ne g$ zwei Funktionen aus $W$
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-f(-x)-g(-x)=(-f-g)(-x)=-(f+g)(-x)$
$\Rightarrow$ Addition abgeschlossen

$\lambda \in ℝ:$
$f(x)=(-f(-x))$
$\lambda f(x)=\lambda (-f(-x))$
$\Rightarrow$ Skalare Multiplikation abgeschlossen

Es gilt: $V$ ist der Vektorraum aller Funktionen $ℝ\to ℝ$
Daher muss es auch die Funktion $e:ℝ\to ℝ$ mit $e(x)=0$ geben. Daraus folgt: $\mathrm{\forall }v\in V:\mathrm{\exists }e\in V:v(x)+e(x)=v(x)\to v(x)+0=v(x)$
Da $e(x)=-e(-x)=0\Rightarrow e\in W$
$\Rightarrow$ neutrales Element ist $e$

$\Rightarrow W$ ist ein Unterraum

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\lambda \overrightarrow{x}+\lambda \overrightarrow{y}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{x}+\mu x$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{x}=\lambda \cdot (\mu \overrightarrow{x})$
4. $1\cdot \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$

Untervektorraum

Sei $⟨V,+,K⟩$ ein Vektorraum, $U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\ne \varnothing$
• $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in U⟹\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in aU,\lambda \in K⟹\lambda \overrightarrow{x}\in U(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:31, 28. Feb. 2026 (CET)

Sei $V$ Vektorraum aller Funktionen $f:ℝ\to ℝ$ über $K=ℝ,W$ die Menge aller ungeraden Funktionen in $V$, d. h. aller Funktionen $f$, für die gilt: $f(x)=-f(-x)$, für alle $x\in ℝ$.

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist.

Gegeben: $V=\{f:ℝ\to ℝ\}$ und $W=\{f\in V|f(x)=-f(-x),\mathrm{\forall }x\in ℝ\}$.

Nicht leer:

• $W\ne \mathrm{\varnothing }$, da $f(x)=0\mathrm{\forall }x\in ℝ,f(x)=0=-f(-x)⟹f\in W$.

Abgeschlossen bezüglich Addition:

• Seien $f,g\in W⟹f(x)=-f(-x),g(x)=-g(-x)\mathrm{\forall }x\in ℝ⟹\mathrm{\forall }x\in ℝ:(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-(f+g)(-x)⟹(f+g)\in W$.

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

• Sei $f\in W⟹f(x)=-f(-x)\mathrm{\forall }x\in ℝ,\lambda \in ℝ:(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)=-\lambda \cdot f(-x)=-(\lambda \cdot f)(-x),\mathrm{\forall }x\in ℝ⟹(\lambda \cdot f)\in W$.

Da $W\ne \mathrm{\varnothing }$ und abgeschlossen bezüglich Addition sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation folgt $W\le V$. Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $V$. $◼$.

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_476