TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 528

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $f{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=f{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$ . Bestimmen Sie Kern $ker(f)$ und $f(\mathbb {R} ^{2})$ sowie dim(Kern $f$ ). Verifizieren Sie die Beziehung $dim(ker(f))+rg(f)=dim(\mathbb {R} ^{2})$ und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge $kerf:=\{v\in V|f(v)=0\in W\}$ der Kern von f.

Lösung von scatmike[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Angabe würde also die lineare Abbildung aus R² folgendermaßen aussehen: (Beachte: der obere Teil bildet auf den unteren Teil mittels der Funktion f ab)
$f{\frac {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-2&-2\end{pmatrix}}}$
Da laut Angabe die Matrix f bezüglich der kanonischen Basis bestimmt werden soll formen wir den oberen Teil auf die Einheitsmatrix mittels Spalten Gauß um:
$f{\frac {\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}}}$
<italic>Im ersten Schritt multiplizieren wir die erste Spalte * 2 und subtrahieren diese von der zweiten Spalte. Im nächsten Schritt dividieren wir die zweite Spalte durch 3:
$f{\frac {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{\frac {-1}{3}}\\-2&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}}$ Jetzt haben wir die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. Daraus können wir die Basis ablesen und den Kern(f) ausrechnen:

Kern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Kern folgendes Lineares Gleichungssystem lösen:
${\begin{pmatrix}1&{\frac {-1}{3}}\\-2&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\binom {0}{0}}$
Das Ergebnis für den Kern sollte der Vektor ${\binom {\frac {1}{3}}{1}}$ sein. Dieser Vektor wird also auf ${\binom {0}{0}}$ , also das neutrale Element abgebildet.

Bild[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(alles ohne Gewähr)
$f({\overrightarrow {x}})=A*{\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}1&{\frac {-1}{3}}\\-2&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}*{\binom {x1}{x2}}={\begin{pmatrix}x1&{\frac {-x2}{3}}\\-2*x1&{\frac {2*x2}{3}}\end{pmatrix}}$
Die Basis von f kann man dann wie folgt in Parameterschreibweise schreiben:
$x1*{\binom {1}{-2}}+x2*{\binom {\frac {-1}{3}}{\frac {2}{3}}}$