TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 531
Sei die Menge aller -Matrizen über mit . Man zeige, dass Normalteiler von der Gruppe aller regulären Matrizen A über ist (Gruppe aus Bsp. 522) .
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. . Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe .
Lösung von Gittenburg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
U ist Teilmenge von G[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:
Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante ist.
U ist nicht leer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.
U ist abgeschlossen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.
Weil die Multiplikation in kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.