TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 531

Sei $U$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $B$ über $\mathbb {R}$ mit ${\text{det }}B=\pm 1$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von der Gruppe $\langle G,\cdot \rangle$ aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $\mathbb {R}$ ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $aN=Na,\forall a\in G$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{aN\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösung von Gittenburg

U ist Teilmenge von G

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

$\forall A\in G:{\text{det }}A\neq 0$

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante $\pm 1$ ist.

U ist nicht leer

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen

$\forall A,B\in U:A\cdot B\in U$

${\text{det }}(A\cdot B)={\text{det }}A\cdot {\text{det }}B$

Schlussfolgerung

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in $\mathbb {R}$ kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.