TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 533

Sei $U$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $B$ über $ℝ$ mit $\text{det }B=\pm 1$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von der Gruppe $⟨G,\cdot ⟩$ aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $ℝ$ ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösung von Gittenburg

U ist Teilmenge von G

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

$\mathrm{\forall }A\in G:\text{det }A\ne 0$

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante $\pm 1$ ist.

U ist nicht leer

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen

$\mathrm{\forall }A,B\in U:A\cdot B\in U$

$\text{det }(A\cdot B)=\text{det }A\cdot \text{det }B$

Schlussfolgerung

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in $ℝ$ kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.

Anmerkung von Har203: Diese Aussage ist leider falsch, da wir hier nicht mit reellen Elementen arbeiten, sondern mit $n\times n$-Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

Hilfreiches von Har203

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Nebenklassen

Sei $⟨G,\circ ⟩$ eine Gruppe, $U$ eine Untergruppe von $G$ und $a\in G$. Dann heißt

$\begin{array}{cccccccccc}& a\circ U=& \{a\circ u& |u\in U\}& & \text{Linksnebenklasse}& \text{ von }& U& \text{ in }G& \\ & U\circ a=& \{u\circ a& |u\in U\}& & \text{Rechtsnebenklasse}& \text{ von }& U& \text{ in }G& \end{array}$

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matrix $A$ heißt regulär bzw. invertierbar, wenn eine $n\times n$ Matrix $B$ existiert mit $A\cdot B=B\cdot A=E_n$. Dabei ist $E_n$ die Einheitsmatrix. Die Matrix $A$ ist genau dann regulär bzw. invertierbar, wenn für die Determinante der Matrix $A$ gilt$:det(A)\ne 0$.

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element. Das Gegenteil sind natürlich singuläre Matrizen - diese bilden nur ein Monoid!

Determinante der inversen Matrix

Für die inverse Matrix $A^{-1}$ einer quadratischen regulären Matrix $A$ gilt:

$det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det(A)}$.

Determinantenproduktsatz

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)=det(B)\cdot det(A)=det(B\cdot A)$

Lösungsvorschlag von Har203

Sei $G$ die Menge aller regulären $n\times n$-Matrizen $A$ über $ℝ$. Man zeige, dass $⟨G,\cdot ⟩$ eine Gruppe bildet.

• Das haben wir bereits im Bsp. 532 gezeigt.

Sei $U$ die Menge aller $n\times n$-Matrizen $B$ über $ℝ$ mit $det(B=\pm 1)$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von $G$ (aus Bsp. 532) ist.

Wir zeigen zuerst, dass $U$ eine Untergruppe von $⟨G,\cdot ⟩$ bildet.

Abgeschlossenheit

Die Menge $U$ ist nicht leer, da die Einheitsmatrix $E_n\in U$ ist. Die Multiplikation zweier $n\times n$-Matrizen über $ℝ$ bildet natürlich wieder eine $n\times n$-Matrix über $ℝ$.

Es seien zwei Elemente $A,B\in U$ mit der oben angegebenen Voraussetzung $a=det(A)=1$ und $b=det(B)=1$. Für die Determinante gilt dann von $(A\cdot B):det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)=1$ (nach dem Determinantenmultiplikationssatz). Somit ist $(A\cdot B)$ wieder $\in U$ und $U$ ist abgeschlossen.$\surd$

Assoziativität

Die Assoziativität der Matrizenmultiplikation in der Untergruppe wird natürlich vererbt. $\surd$

Neutrale Element

Die Einheitsmatrix $E_n$ ist eine $n\times n$-Matrix über $ℝ$ mit $det(E_n)=1$. D.h. es gilt auch $E_n\in U$. $\surd$

Inverse Element

Die Inverse Matrix der quadratischen $n\times n$-Matrix $D$ existiert genau dann, wenn die Determinante $\ne 0$ ist. Diese Voraussetzung ist mit der Einschränkung $d=det(D)=1$ erfüllt. Daraus folgt, dass die Determinante der inversen Matrix $det(D^{-1})=\frac{1}{d}=1$ ist und somit auch $D^{-1}\in U$. $\surd$

$⟹𝐔$ ist eine Untergruppe von G. $\surd$

Nebenklassen

Es gilt $⟨G,\cdot ⟩$ ist eine Gruppe mit Elementen $X\in G$ bestehend aus $n\times n$-Matrizen über $ℝ$ mit $det(X)\in ℝ\setminus \{0\}$ und $U$ ist eine Untergruppe mit Determinanten $det(X)=\pm 1$ für $X\in U$. Man zeige, dass $U$ Normalteiler von $G$ ist.

Sei $A\in G$ fest und $C\in U$ beliebig. Wir betrachten nun Elemente in der Form $A\cdot C\cdot A^{-1}$. Dann gilt:

$det(A\cdot C\cdot A^{-1})=det(A)\cdot det(C)\cdot det(A^{-1})=det(A)\cdot (\pm 1)\cdot \frac{1}{det(A)}=(\pm 1)⟹$

$⟹A\cdot C\cdot A^{-1}\in U$ und $\mathrm{\forall }C\in U⟹A\cdot U\cdot A^{-1}\subseteq U$.

Umgekehrt werden wir zeigen, dass ein beliebiges $D\in U$ die Form $A\cdot B\cdot A^{-1}$ hat. Dafür wählen wir ein beliebiges $D\in U$ und konstruieren uns ein Element $B$ mit der vertauschten Form $B=A^{-1}\cdot D\cdot A,$ mit $A\in G$ fest. Wir werden zeigen, dass $B$ in $U$ liegt. Dafür bestimmen wir wieder die Determinanten:

$det(B)=det(A^{-1})\cdot det(D)\cdot det(A)=\frac{1}{det(A)}\cdot (\pm 1)\cdot det(A)=\pm 1⟹B\in U$

Wir setzen nun $B$ in die Anfangsform ein$:A\cdot B\cdot A^{-1}$ und erhalten

$A\cdot B\cdot A^{-1}=A\cdot (A^{-1}\cdot D\cdot A)\cdot A^{-1}=E_n\cdot D\cdot E_n=D$. D.h. $D$ hat die Form $A\cdot B\cdot A^{-1}$.

Damit haben wir gezeigt:

$D\in U⟹D\in A\cdot U\cdot A^{-1}⟹U\subseteq A\cdot U\cdot A^{-1}$.

Aus den beiden Ergebnissen können wir schließen:

$A\cdot U\cdot A^{-1}\subseteq U$ und $U\subseteq A\cdot U\cdot A^{-1}⟹A\cdot U\cdot A^{-1}=U⟹A\cdot U\cdot A^{-1}\cdot A=U\cdot A⟹A\cdot U=U\cdot A$.

Anmerkung: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Es gilt im Allgemeinen nicht $A\cdot C=C\cdot A$, aber es gilt, dass die Nebenklassen als gesamte Menge betrachtet übereinstimmen, also

$A\cdot U=U\cdot A,\mathrm{\forall }A\in G$ und es gilt

• entweder $(A\cdot U)=(B\cdot U)$ mit $A,B\in G$
• oder $(A\cdot U)\cap (B\cdot U)=\mathrm{\varnothing }$.

Als Beispiel:

$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)⟹C\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}4& 7& 6\\ 1& 4& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$, aber $A\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 7\\ 1& 4& 8\\ 0& 1& 3\end{array}\right)$.

Für die Determinanten gilt jedoch:

$det(C)=1,det(A)=3$ für die beiden Bilder gilt dann$:det(A\cdot C)=3\cdot 1=3$ und $det(C\cdot A)=1\cdot 3=3$. D.h. $A\cdot C\ne C\cdot A$, aber $A\cdot C$ und $C\cdot A\in (U\cdot A)$ und auch $A\cdot C$ und $C\cdot A\in (A\cdot U)$.

$◼$

Links

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• Matrix
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• Determinantenproduktsatz
• Inverse Matrix

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