TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 567

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 4& 6\\ -1& -2& 2\end{array}\right)$

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Hilfreiches

Inverse_Matrix

Lösungsvorschlag von mnemetz

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast {A^{†}}^T$

• $det(A)$ ... Determinante von A
• $A^{†}$ ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

$det(A)=1\ast 4\ast 2+3\ast 6\ast (-1)+2\ast 2\ast (-2)-2\ast 4\ast (-1)-(-2)\ast 3\ast 2-1\ast 6\ast 2=8-18-8+8-12+12=\mathit{-}10$

$det(A)\ne 0\Rightarrow$ A ist invertierbar!

$A^{†}=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 6\\ -1& 2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& -2\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 6\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}20& -10& 0\\ -10& 4& -1\\ 10& -2& -2\end{array}\right)$

Diese Matrix müssen wir noch transponieren:

$\left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ -10& 4& -2\\ 0& -1& -2\end{array}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast A^{†}=-\frac{1}{10}\ast \left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ -10& 4& -2\\ 0& -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\mathit{-}2& 1& \mathit{-}1\\ 1& \mathit{-}0.4& 0.2\\ 0& 0.1& 0.2\end{array}\right)$

Anmerkung: Bei der Berechnung der det(A). Sollte es nicht 3*2*2 und 6*-2*1 sein.

Hilfsmittel von Har203

Eine Matrix $A(n\times n)$ ist genau dann invertierbar (also regulär), falls ihre Determinante $detA$ eine Einheit des zugrundeliegenden Ringes ist (das heißt $detA\ne 0$ für Körper. Falls $A$ invertierbar ist, dann gilt für die Determinante der Inversen $det\left(A^{-1}\right)={(detA)}^{-1}$.

Wir nützen aus, dass die Matrix $A$ multipliziert mit der inversen Matrix $A\cdot A^{-1}=E$ die Einheitsmatrix $E$ ergibt. Dabei werden wir die Matrix $A$ auf der rechten Seite um die Einheitsmatrix $E_n$ erweitern und im Folgenden diese Struktur als Einheit betrachten. Wir werden auf der Seite der Matrix $A$ die Einheitsmatrix erzeugen und erhalten anstelle der jetzigen Einheitsmatrix rechts die Inverse-Matrix $A^{-1}$.

Lösung von Har203

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A$:

$\begin{array}{cc}& A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 4& 6\\ -1& -2& 2\end{array}\right)\end{array}$

Bevor wir beginnen schauen wir uns die Determinate der Matrix $A$ an:

$det(A)=1\cdot 4\cdot 2+3\cdot 6\cdot (-1)+2\cdot 2\cdot (-2)-2\cdot 4\cdot (-1)-3\cdot 2\cdot 2-1\cdot 6\cdot (-2)=-10\ne 0$

Wenn die Determinante $\ne 0$ ist, dann existiert die inverse Matrix von A.

Wir erweitern die Matrix $A$ rechts um die Einheitsmatrix $E_{n\times n}$ und werden dann dieses Konstrukt als Gleichungssystem auflösen.

$\begin{array}{cc}& A=\left(\begin{array}{cccccc}1& 3& 2& 1& 0& 0\\ 2& 4& 6& 0& 1& 0\\ -1& -2& 2& 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}⟹\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cccccc}1& 3& 2& 1& 0& 0\\ 0& 0& 10& 0& 1& 2\\ 0& 1& 4& 1& 0& 1\end{array}\right)\end{array}⟹\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cccccc}1& 3& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& 4& 1& 0& 1\\ 0& 0& 10& 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}⟹$

$⟹\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -10& -2& 0& -3\\ 0& 1& 0& 1& -4/10& 2/10\\ 0& 0& 10& 0& 1& 2\end{array}\right)\end{array}⟹\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -2& 1& -1\\ 0& 1& 0& 1& -4/10& 1/5\\ 0& 0& 1& 0& 1/10& 1/5\end{array}\right)\end{array}$

Durchgeführte Schritte:

1.Schritt: $\begin{array}{cc}& Z3:=Z3+1\ast Z1\\ & Z2:=Z2+2\ast Z3\end{array}$

2.Schritt: $\begin{array}{cc}& Z2\text{ mit }Z3\text{ vertauschen}\end{array}$

3.Schritt: $\begin{array}{cc}& Z1:=Z1-3\ast Z2\\ & Z2:=Z2-Z3\ast 2/5\end{array}$

4.Schritt: $\begin{array}{cc}& Z1:=Z1+Z3\\ & Z3:=Z3/10\end{array}$

Fertig. D.h. unsere gesuchte inverse Matrix $A^{-1}$ steht nun auf der rechten Seite der erweiterten Matrix:

$A^{-1}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -4/10& 1/5\\ 0& 1/10& 1/5\end{array}\right)\end{array}$

Probe:

$E_{n\times n}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 4& 6\\ -1& -2& 2\end{array}\right)\end{array}\cdot \begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -4/10& 1/5\\ 0& 1/10& 1/5\end{array}\right)\end{array}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}-2+3& 1-12/10+2/10& -1+3/5+2/5\\ -4+4& 2-16/10+6/10& -2+4/5+6/5\\ 2-2& -1+8/10+2/10& 1-2/5+2/5\end{array}\right)\end{array}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$ 

$det{A}^{-1}=(-2)\cdot (-4/10)\cdot 1/5+1\cdot 1/5\cdot 0+(-1)\cdot 1\cdot 1/10-(-1)\cdot (-4/10)\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1/5-(-2)\cdot 1/10\cdot 1/5=-1/10$

Wie in den Hilfsmittel beschrieben muss gelten, dass die Determinante der Inversen folgenden Wert hat

$det\left(A^{-1}\right)={(detA)}^{-1}=(-10{)}^{-1}=-1/10$.

$◼$

Links

• Datei:Mathe1-sol.pdf

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden

Siehe Beispiel_553! = TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 400