TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 567

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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Lösungsvorschlag von mnemetz

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}*{A^{\dagger }}^{T}$

• $det(A)$ ... Determinante von A
• $A^{\dagger }$ ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

$det(A)=1*4*2+3*6*(-1)+2*2*(-2)-2*4*(-1)-(-2)*3*2-1*6*2=8-18-8+8-12+12={\mathit {-10}}$

$det(A)\neq 0\Rightarrow$ A ist invertierbar!

$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}4&6\\-2&2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&6\\-1&2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}2&4\\-1&-2\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}3&2\\-2&2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}1&2\\-1&2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\-1&-2\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}3&2\\4&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&2\\2&6\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20&-10&0\\-10&4&-1\\10&-2&-2\end{pmatrix}}$

Diese Matrix müssen wir noch transponieren:

${\begin{pmatrix}20&-10&10\\-10&4&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}$

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}*A^{\dagger }=-{\frac {1}{10}}*{\begin{pmatrix}20&-10&10\\-10&4&-2\\0&-1&-2\end{pmatrix}}={\mathit {\begin{pmatrix}-2&1&-1\\1&-0.4&0.2\\0&0.1&0.2\end{pmatrix}}}$

Anmerkung: Bei der Berechnung der det(A). Sollte es nicht 3*2*2 und 6*-2*1 sein.

Beispiel 567:

Hilfsmittel von Har203

Eine Matrix $A\ (n\times n)$ ist genau dann invertierbar (also regulär), falls ihre Determinante $\det A$ eine Einheit des zugrundeliegenden Ringes ist (das heißt $\det A\neq 0$ für Körper. Falls $A$ invertierbar ist, dann gilt für die Determinante der Inversen $\det \left(A^{-1}\right)=\left(\det A\right)^{-1}$.

Wir nützen aus, dass die Matrix $A$ multipliziert mit der inversen Matrix $A\cdot A^{-1}=E$ die Einheitsmatrix $E$ ergibt. Dabei werden wir die Matrix $A$ auf der rechten Seite um die Einheitsmatrix $E_{n}$ erweitern und im Folgenden diese Struktur als Einheit betrachten. Wir werden auf der Seite der Matrix $A$ die Einheitsmatrix erzeugen und erhalten anstelle der jetzigen Einheitsmatrix rechts die Inverse-Matrix $A^{-1}$.

Lösung von Har203

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A$:

${\begin{alignedat}{1}&A=\left({\begin{array}{ccc}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Bevor wir beginnen schauen wir uns die Determinate der Matrix $A$ an:

$\det(A)=1\cdot 4\cdot 2+3\cdot 6\cdot (-1)+2\cdot 2\cdot (-2)-2\cdot 4\cdot (-1)-3\cdot 2\cdot 2-1\cdot 6\cdot (-2)=-10\neq 0$

Wenn die Determinante $\neq 0$ ist, dann existiert die inverse Matrix von A.

Wir erweitern die Matrix $A$ rechts um die Einheitsmatrix $E_{n\times n}$ und werden dann dieses Konstrukt als Gleichungssystem auflösen.

${\begin{alignedat}{1}&A=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3&2&1&0&0\\2&4&6&0&1&0\\-1&-2&2&0&0&1\end{array}}\right)\end{alignedat}}\implies {\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3&2&1&0&0\\0&0&10&0&1&2\\0&1&4&1&0&1\end{array}}\right)\end{alignedat}}\implies {\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&3&2&1&0&0\\0&1&4&1&0&1\\0&0&10&0&1&2\end{array}}\right)\end{alignedat}}\implies$

$\implies {\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-10&-2&0&-3\\0&1&0&1&-4/10&2/10\\0&0&10&0&1&2\end{array}}\right)\end{alignedat}}\implies {\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&1&-1\\0&1&0&1&-4/10&1/5\\0&0&1&0&1/10&1/5\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Durchgeführte Schritte:

1.Schritt: $\quad {\begin{alignedat}{1}&Z3\,\colon =Z3+1*Z1\\&Z2\,\colon =Z2+2*Z3\end{alignedat}}$

2.Schritt: $\quad {\begin{alignedat}{1}&Z2{\text{ mit }}Z3{\text{ vertauschen}}\end{alignedat}}$

3.Schritt: $\quad {\begin{alignedat}{1}&Z1\,\colon =Z1-3*Z2\\&Z2\,\colon =Z2-Z3*2/5\end{alignedat}}$

4.Schritt: $\quad {\begin{alignedat}{1}&Z1\,\colon =Z1+Z3\\&Z3\,\colon =Z3/10\end{alignedat}}$

Fertig. D.h. unsere gesuchte inverse Matrix $A^{-1}$ steht nun auf der rechten Seite der erweiterten Matrix:

$A^{-1}={\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc}-2&1&-1\\1&-4/10&1/5\\0&1/10&1/5\end{array}}\right)\end{alignedat}}$

Probe:

$E_{n\times n}={\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc}1&3&2\\2&4&6\\-1&-2&2\end{array}}\right)\end{alignedat}}\cdot {\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc}-2&1&-1\\1&-4/10&1/5\\0&1/10&1/5\end{array}}\right)\end{alignedat}}={\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc}-2+3&1-112/10+2/10&-1+3/5+2/5\\-4+4&2-16/10+6/10&-2+4/5+6/5\\2-2&-1+8/10+2/10&1-2/5+2/5\end{array}}\right)\end{alignedat}}={\begin{alignedat}{1}&\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)\end{alignedat}}$ 

$det\ A^{-1}=(-2)\cdot (-4/10)\cdot 1/5+1\cdot 1/5\cdot 0+(-1)\cdot 1\cdot 1/10-(-1)\cdot (-4/10)\cdot 0-1\cdot 1\cdot 1/5-(-2)\cdot 1/10\cdot 1/5=-1/10$

Wie in den Hilfsmittel beschrieben muss gelten, dass die Determinante der Inversen folgenden Wert hat

$\det \left(A^{-1}\right)=\left(\det A\right)^{-1}=(-10)^{-1}=-1/10$.

$\quad \blacksquare$

Links

• Datei:Mathe1-sol.pdf

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden

Siehe Beispiel_553! = TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 400