TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 573

Man berechne:

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\1&2&-5&-3\end{array}}\right|$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

• Ähnliches Beispiel: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 560

Lösungsvorschlag von Königd

Hier gibt es mehrer Varianten zu einer Lösung zu kommen:

1) Laplace'scher Entwicklungssatz

2) Umformen auf untere/obere Dreiecks Matrix

Hier ist meiner Meinung nach 2) viel einfacher und schneller zu machen

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\1&2&-5&-3\end{array}}\right|$

Wir verwenden die erste Zeile um die anderen zu vereinfachen.

$II:II-2*I$

$III:III+I$

$IV:IV-I$

Dadurch erhalten wir:

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&-1&-4&-8\end{array}}\right|$

Als nächstes nutzen wir die zweite Zeile um weiter umzuformen.

$III:III-II$

$IV:IV+II$

Dadurch erhalten wir:

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&-2&-16\end{array}}\right|$

Nun fehlt uns noch der letzte Schritt damit wir die obere Dreiecksform unserer Matrix erreichen. Die bekommen wir durch die Umformung:

$IV:IV+2*III$

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&0&10\end{array}}\right|$

Jetzt wo wir die obere Dreiecksform erreicht haben, können wir die Determinante so ausrechnen indem wir

$detA=a_{11}*a_{22}*a_{33}*...*a_{nn}$

berechnen. In diesem Fall ist es ganz einfach $detA=1*1*1*10=10$

--Königd 17:04, 22. Jun. 2019 (CEST)