TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 575

Man berechne:

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\1&2&-5&-3\end{array}}\right|$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

• Ähnliches Beispiel: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 560

Lösungsvorschlag von Königd

Hier gibt es mehrer Varianten zu einer Lösung zu kommen:

1) Laplace'scher Entwicklungssatz

2) Umformen auf untere/obere Dreiecks Matrix

Hier ist meiner Meinung nach 2) viel einfacher und schneller zu machen

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\1&2&-5&-3\end{array}}\right|$

Wir verwenden die erste Zeile um die anderen zu vereinfachen.

$II:II-2*I$

$III:III+I$

$IV:IV-I$

Dadurch erhalten wir:

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&-1&-4&-8\end{array}}\right|$

Als nächstes nutzen wir die zweite Zeile um weiter umzuformen.

$III:III-II$

$IV:IV+II$

Dadurch erhalten wir:

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&-2&-16\end{array}}\right|$

Nun fehlt uns noch der letzte Schritt damit wir die obere Dreiecksform unserer Matrix erreichen. Die bekommen wir durch die Umformung:

$IV:IV+2*III$

$\left|{\begin{array}{rrrr}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&0&10\end{array}}\right|$

Jetzt wo wir die obere Dreiecksform erreicht haben, können wir die Determinante so ausrechnen indem wir

$detA=a_{11}*a_{22}*a_{33}*...*a_{nn}$

berechnen. In diesem Fall ist es ganz einfach $detA=1*1*1*10=10$

--Königd 17:04, 22. Jun. 2019 (CEST)

Hilfreiches von Har203

Determinanten

Zur Definition, Entwicklung nach Zeilen bzw. Spalten und sonstigen Eigenschaften von Determinanten verweise ich auf den entsprechenden Artikel in der Wikipedia.

Lösungsvorschlag von Har203

Man berechne $\det(A)={\begin{array}{|cccc|}\ \color {green}1&3&-1&5\ \\\ \color {green}2&\color {orange}7&\color {orange}0&\color {orange}2\color {black}\ \\\ \color {green}(-1)&\color {orange}-2&\color {orange}4&\color {orange}0\ \\\ \color {green}1&\color {orange}2&\color {orange}-5&\color {orange}-3\;\;\end{array}}$

Wir werden nach der ersten Spalte entwickeln. Das vordere Vorzeichen ändert sich Zeile für Zeile $+\to -\to +,\ldots$:

$det(A)=\color {red}\;\mathbf {+} \;\color {green}\mathbf {1} \color {black}\cdot {\begin{array}{|ccc|}\ \color {orange}7&\color {orange}0&\color {orange}2\ \\\ \color {orange}-2&\color {orange}4&\color {orange}0\ \\\ \color {orange}2&\color {orange}-5&\color {orange}-3\;\;\end{array}}\color {red}\;\mathbf {-} \;\color {green}\mathbf {2} \color {black}\cdot {\begin{array}{|ccc|}\ 3&-1&5\ \\\ -2&4&0\ \\\ 2&-5&-3\;\;\end{array}}\color {red}\;\mathbf {+} \;\color {green}\mathbf {(-1)} \color {black}\cdot {\begin{array}{|ccc|}\ 3&-1&5\ \\\ 7&0&2\ \\\ 2&-5&-3\;\;\end{array}}\color {red}\;\mathbf {-} \;\color {green}\mathbf {1} \color {black}\cdot {\begin{array}{|ccc|}\ 3&-1&5\ \\\ 7&0&2\ \\\ -2&4&0\;\;\end{array}}$

$\det {\begin{array}{|ccc|}\ \color {orange}7&\color {orange}0&\color {orange}2\ \\\ \color {orange}-2&\color {orange}4&\color {orange}0\ \\\ \color {orange}2&\color {orange}-5&\color {orange}-3\;\;\end{array}}=(-84)+20-16-=\color {blue}-80\color {black}$

$\det {\begin{array}{|ccc|}\ 3&-1&5\ \\\ -2&4&0\ \\\ 2&-5&-3\;\;\end{array}}=(-36)+50-40+6=\color {blue}-20\color {black}$

$\det {\begin{array}{|ccc|}\ 3&-1&5\ \\\ 7&0&2\ \\\ 2&-5&-3\;\;\end{array}}=(-4)-175-21+30=\color {blue}-170\color {black}$

$\det {\begin{array}{|ccc|}\ 3&-1&5\ \\\ 7&0&2\ \\\ -2&4&0\;\;\end{array}}=4+140-24=\color {blue}120\color {black}$

${\begin{alignedat}{1}\det(A)=\color {red}+\;\color {green}\mathbf {1} \color {black}\cdot \color {blue}(-80)\color {red}-\;\color {green}\mathbf {2} \color {black}\cdot \color {blue}(-20)\color {red}+\;\color {green}\mathbf {(-1)} \color {black}\cdot \color {blue}(-170)\color {red}-\;\color {green}\mathbf {1} \color {black}\cdot \color {blue}120\color {black}\;=\mathbf {10} \qquad \qquad \blacksquare \end{alignedat}}$