TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 137

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Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Relation
Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts . Ist so spricht man von einer binären Relation. Anstelle von schreibt man auch , anstelle von auch .

Funktion
Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung von nach ist eine Relation mit der Eigenschaft, dass zu jedem genau ein mit existiert. Man schreibt dafür . Der Graph einer Funktion ist die Menge .

Injektivität
Injektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": oder äquivalent:

Surjektivität
Surjektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf:

Bijektivität
Bijektivität[Bearbeiten, Wikipedia, 1.65 Definition]

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion .


WARNUNG: Siehe https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)


Eine andere Schreibweise für ist definitionsgemäß .

In diesem Fall bedeutet das:


Um zu überprüfen ob dieses eine Funktion ist, kurz folgende Überlegung: und Logarithmen (egal welcher Basis) nimmt mit negative Werte. Und positive Werte sind auch abgebildet. Somit kann man alle Werte einsetzen, und bekommt einen Wert.

Injektivität: Eine Abbildung heißt injektiv dann, wenn für alle höchstens ein existiert, sodaß .

Angenommen, , wobei :

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle mindestens ein existiert, sodaß .

Diese Eigenschaft ist hier nicht erfüllt, da der Ausdruck nur für alle definiert ist. Die Funktion zeigt (aufgrund der Definition ) nur auf auf müsste aber auf ganz zeigen um bijektiv bzw surjektiv zu sein.

Ist eine Abbildung injektiv, aber nicht surjektiv, so ist sie nicht bijektiv.

Funktion
Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion oder Abbildung von nach ist eine Relation mit der Eigenschaft, dass zu jedem genau ein mit existiert. Man schreibt dafür . Der Graph einer Funktion ist die Menge .