TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 360

Man ergänze die folgende Operationstafel so, daß $\left\langle G=\left\{a,b,c,d\right\},*\right\rangle$ eine Gruppe ist:
${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a\\b&&a\\c&&&a\\d\end{array}}$

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}}

Lösung (von Jurewitsch)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir alle wissen, was eine Gruppe ist, falls doch nicht:

Gruppentheorieartikel bei Wikipedia oder

ein Artikel im Matroids-Mathplanet (dieses Forum kann ich als Wissensquelle übrigens sehr empfehlen, da wissen Einige wirklich, was Sache ist).

Jetzt einfach noch die Tabelle nach Belieben so ergänzen, daß kein Widerspruch zu den Axiomen entsteht:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a&b&c&d\\b&b&a&d&c\\c&c&d&a&b\\d&d&c&b&a\end{array}}$

Kleine Anleitung wie man sie bastelt:

"a" als Neutralelement nehmen, weil es schon so schön oft da ist, die Inverselemente sind dann jeweils die Elemente selber, den Rest der freien Plätze einfach symmetrisch zur Diagonale auffüllen.

Diese Gruppe hat sogar einen Namen, sie heisst "Klein'sche Vierergruppe". Übrigens gibt bis auf Isomorphie (also bis auf die Vertauschung von Buchstaben) genau 2 Gruppen mit 4 Elementen.

Lösung (von Juggl3r)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier meine Lösung: (Aufgabe, wir sollen die Operationstafel so ergänzen, dass (G = {e,a,b,c},*) eine Gruppe ist. Also überlegen wir zuerst:

) Die Struktur muss abgeschlossen sein, d.h. egal welche 2 Elemente wir verbinden, es muss ein Element der Menge G wieder herauskommen.
) Assoziativ: das brauchen wir hier jetzt nicht unbedingt (das ergibt sich dann schon von alleine)
) Ein neutrales Element
) Ein inveres Element für alle Elemente.

Wir haben hier schon angegeben, dass e*e = e ist. Daraus können wir ablesen, dass e das Neutrale element ist. Das Inverse Element von e ist wieder e. (Neutrale Elemente sind immer Selbstinvers). Dann schauen wir weiter: a*a = e. a ist also auch selbstinvers. => c*c muss auch e sein. Also haben wir schon mal:

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&&&\\a&&e&&\\b&&&e&\\c&&&&e\end{array}}$

Jetzt schauen wir weiter: Neutrales Element mal irgend ein Element ergibt immer dieses "irgendein Element". Also a*e = a; b*e = b usw. Einsetzen:

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&&\\b&b&&e&\\c&c&&&e\end{array}}$

Als nächstes müssen wir uns eine wichtige Eigenschaft von einer Gruppe überlegen: Nämlich das in einer Reihe bzw. in einer Spalte jedes Element nur 1 mal stehen darf! Wir überlegen uns das Folgendermaßen: Angenommen es gilt:

a*b = d

c*b = d

Jetzt multiplizieren wir von Rechts (Achtung, hier auf die Seite aufpassen, das ist nämlich nicht gleich wie von Links multiplizieren) mit $b^{-1}$ :

$a*b*b^{-1}=d*b^{-1}$

$a=d*b^{-1}$

$c*b*b^{-1}=d*b^{-1}$

$c=d*b^{-1}$

Jetzt setzen wir gleich:

$a=d*b^{-1}=c$

Also muss a gleich c sein oder anders gesagt, in einer Zeile bzw. Spalte darf jedes Element nur einmal vorkommen. Jetzt überlegen wir uns: In der zweiten Zeile fehlen b und c. Allerdings kommt in der 3ten Spalte b schon vor, also muss c in die 3te Spalte - 2te Zeile. Und deshalb muss b auch in 4te Spalte 2te Zeile. Das gleiche Spiel machen wir für die ganze Tafel und haben nun als Ergebnis:

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$