TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 239

WS08 Beispiel 253

Man ergänze die folgende Operationstafel so, daß $<G={a,b,c,d},*>$ eine Gruppe ist:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a\\b&&c\\c&\\d&\end{array}}$

Lösung

Wie schon in der Lösung von TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 238 beschrieben, gibt es genau 2 bis auf Isomophie verschiedene Gruppen mit 4 Elementen. Das ist jetzt die zweite.

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a&b&c&d\\b&b&c&d&a\\c&c&d&a&b\\d&d&a&b&c\end{array}}$

Sie heisst die zyklische Vierergruppe, zyklisch deshalb: b*b=c,b*b*b=d,b*b*b*b=a,b*b*b*b*b=b usw. Also die ganze Gruppe wird durch b erzeugt und man bewegt sich zyklisch durch die Gruppe.

Lösung zool

a*a = a => a ist neutrales Element, alle Elemente mit a verknüpft bringen das Element selbst.

• 1. immer in der ersten Reihe/Spalte die Zeichen die schon daneben stehen eintragen.

Wenn man immer den selben Operator und immer eines der beiden Elemente gleich bleibt, muss es verschiedene Ergebnisse bringen, daher der SUDOKO-Effekt.

• 2. Schauen was jetzt übrigleibt c gabs jetzt schon 3 mal war nur mehr ein Platz(rechts unten), als nächstes war dann für d nur mehr ein Platz(2. Zeile ganz rechts).

(Verknüpfungen müssen assoizzativ sein und sind daher symetrisch!?)

• 3. weil es ja symmetrisch sein soll ergibt sich der Rest leicht.

[Verknüpfungstafel] ist gebräuchlicher als Operationstafel --Zool 17:15, 24. Nov 2008 (CET)

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