TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 362

Man ergänze die folgende Operationstafel so, daß $\left\langle G=\left\{a,b,c,d\right\},*\right\rangle$ eine Gruppe ist:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a\\b&&a\\c&&&a\\d\end{array}}$

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Lösung (von Jurewitsch)

Wir alle wissen, was eine Gruppe ist, falls doch nicht:

Gruppentheorieartikel bei Wikipedia oder

ein Artikel im Matroids-Mathplanet (dieses Forum kann ich als Wissensquelle übrigens sehr empfehlen, da wissen Einige wirklich, was Sache ist).

Jetzt einfach noch die Tabelle nach Belieben so ergänzen, daß kein Widerspruch zu den Axiomen entsteht:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a&b&c&d\\b&b&a&d&c\\c&c&d&a&b\\d&d&c&b&a\end{array}}$

Kleine Anleitung wie man sie bastelt:

"a" als Neutralelement nehmen, weil es schon so schön oft da ist, die Inverselemente sind dann jeweils die Elemente selber, den Rest der freien Plätze einfach symmetrisch zur Diagonale auffüllen.

Diese Gruppe hat sogar einen Namen, sie heisst "Klein'sche Vierergruppe". Übrigens gibt bis auf Isomorphie (also bis auf die Vertauschung von Buchstaben) genau 2 Gruppen mit 4 Elementen.

Lösung (von Juggl3r)

Hier meine Lösung: (Aufgabe, wir sollen die Operationstafel so ergänzen, dass (G = {e,a,b,c},*) eine Gruppe ist. Also überlegen wir zuerst:

• ) Die Struktur muss abgeschlossen sein, d.h. egal welche 2 Elemente wir verbinden, es muss ein Element der Menge G wieder herauskommen.
• ) Assoziativ: das brauchen wir hier jetzt nicht unbedingt (das ergibt sich dann schon von alleine)
• ) Ein neutrales Element
• ) Ein inveres Element für alle Elemente.

Wir haben hier schon angegeben, dass e*e = e ist. Daraus können wir ablesen, dass e das Neutrale element ist. Das Inverse Element von e ist wieder e. (Neutrale Elemente sind immer Selbstinvers). Dann schauen wir weiter: a*a = e. a ist also auch selbstinvers. => c*c muss auch e sein. Also haben wir schon mal:

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&&&\\a&&e&&\\b&&&e&\\c&&&&e\end{array}}$

Jetzt schauen wir weiter: Neutrales Element mal irgend ein Element ergibt immer dieses "irgendein Element". Also a*e = a; b*e = b usw. Einsetzen:

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&&\\b&b&&e&\\c&c&&&e\end{array}}$

Als nächstes müssen wir uns eine wichtige Eigenschaft von einer Gruppe überlegen: Nämlich das in einer Reihe bzw. in einer Spalte jedes Element nur 1 mal stehen darf! Wir überlegen uns das Folgendermaßen: Angenommen es gilt:

a*b = d

c*b = d

Jetzt multiplizieren wir von Rechts (Achtung, hier auf die Seite aufpassen, das ist nämlich nicht gleich wie von Links multiplizieren) mit $b^{-1}$:

$a*b*b^{-1}=d*b^{-1}$

$a=d*b^{-1}$

$c*b*b^{-1}=d*b^{-1}$

$c=d*b^{-1}$

Jetzt setzen wir gleich:

$a=d*b^{-1}=c$

Also muss a gleich c sein oder anders gesagt, in einer Zeile bzw. Spalte darf jedes Element nur einmal vorkommen. Jetzt überlegen wir uns: In der zweiten Zeile fehlen b und c. Allerdings kommt in der 3ten Spalte b schon vor, also muss c in die 3te Spalte - 2te Zeile. Und deshalb muss b auch in 4te Spalte 2te Zeile. Das gleiche Spiel machen wir für die ganze Tafel und haben nun als Ergebnis:

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$

Hoffe ich konnte helfen, gebe aber keine Gewähr, dass das stimmt!

Hilfsmittel von Har203

Halbgruppe

Eine Halbgruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle H,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $H$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,H\times H\to {H},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in H\,,$

die „abgeschlossen“ ist (diese wichtige Voraussetzung zu prüfen wird oft bei algebraischen Strukturen übersehen)

$a,b\in H\implies \mathbf {a\circ b\in H}$

und assoziativ ist, d.h.

$\forall \,a,b,c\,\in H$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

Gruppe

Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar $\left\langle G,\circ \right\rangle$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren zweistelligen Verknüpfung

$\circ \colon \,G\times G\to {G},\,(a,b)\mapsto {a}\circ b\,\in G\,,$

die „abgeschlossen“ ist und, die die drei geforderten Gruppenaxiome erfüllt:

1. Assoziativität
   • $\forall \,a,b,c\,\in G$ gilt$\colon \;(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Existenz eines neutralen Elementes
   • Es gibt ein neutrales Element $e\in G$ mit $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$ (falls dieses existiert, ist dieses eindeutig).
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existent ein inverses Element
   • $\forall \,a\in G$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in G$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$.

Die Elemente einer Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißen kurz Gruppenelemente.

Abelsche bzw. kommutative Gruppe

Eine Gruppe $\left\langle G,\circ \right\rangle$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

1. Kommutativität
   • $\forall \,\,a,b\,\in G$ gilt$\colon \;a\circ b=b\circ a$.

Ordnung und Mächtigkeit einer Gruppe

Sei $\left\langle G,\circ \right\rangle$ eine Gruppe. Die Mächtigkeit $|G|$ wird auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe $G=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}$ ist die Ordnung die Anzahl $n$ der Gruppenelemente.

Vier-elementige Gruppen

Es gibt genau zwei verschiedene vier-elementige Gruppen:

1. Die Klein'sche Vierergruppe mit der Bezeichnung $\mathbb {V_{4}}$ oder $\mathbb {Z_{2}} \times \mathbb {Z_{2}}$ mit den Rechenregeln:
   • $a^{2}=e,\quad b^{2}=e,\quad ab=a\circ b,\quad (ab)^{2}=e$.
2. Die additive Gruppe mit der Bezeichnung $\mathbb {Z_{4}}$ mit den bekannten Rechenregeln Addition modulo 4$\colon \,y=x{\bmod {4}}$.

Lösung von Har203

Zuerst die Grundgedanken zu Eigenschaften der Zeilen bzw. Spalten in der Operationstabelle (Cayley-Tabelle) einer allgemeinen endlichen Gruppen $\left\langle \mathbb {G_{n}} ,\circ \right\rangle$ mit $\mathbf {n}$ Elementen:

• Für ein neutrales Element $\mathbf {e} \in \mathbb {G_{n}}$ muss gelten:
  • $\exists \,e\in \mathbb {G_{n}}$ mit$\colon \;\forall \,a\in \mathbb {G_{n}}$ gilt$\colon \;a\circ e=e\circ a=a$.
  • $\implies$ es muss genau eine Zeile und eine Spalte geben, deren Elementzeilen- und Elementspaltenbeschriftung mit dem Element in der Operationstafel selbst übereinstimmt.
  • Das sind hier das vorgegebene Element $\mathbf {a\circ a=a}$ und die grünen Elemente in der endgültigen Operationstafel.

• Für die Existenz eines Inversen Elementes einer endlichen Gruppen muss gelten:
  • $\forall \,a\in \mathbb {G_{n}}$ gilt$\colon \;\exists \,a^{-1}\in \mathbb {G_{n}}$ mit$\colon \;a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ (für das neutrale Element $\mathbf {e}$).
  • $\implies$ es muss in jeder Zeile und jeder Spalte das neutrale Element genau einmal vorkommen - klar: sonst wäre die vorherige Gleichung mit $\mathbf {e}$ auf der rechten Seite nicht für alle $\mathbf {a} \in \mathbb {G_{n}}$ lösbar.

$\implies$ in jeder Zeile und jeder Spalte muss jedes Element $\mathbf {a} \in \mathbb {G_{n}}$ genau einmal vorkommen. 

• Das sind hier die blauen Elemente in der Operationstafel.

Beweis: Injektiv (keine doppelten Elemente pro Zeile bzw. Spalte: dafür genügt bereits ein links inverses Element):

Sei $a,b,c\in \mathbb {G_{n}}$ mit$\colon \;a\circ b=a\circ c$

und wären $b\neq c$, dann würden in der Operationstafel in der Zeile von $\mathbf {a}$ zumindest zweimal die gleichen Elemente in den Spalten $\mathbf {b}$ und $\mathbf {c}$ vorkommen. Da für alle $a\in \mathbb {G_{n}}$ die links inversen Elemente $a_{l}^{-1}\in \mathbb {G_{n}}$ exisiteren, können wir die Gleichung links mit diesem inversen Element $a_{l}^{-1}$ multiplizieren und es ergibt sich:

$a\circ b=a\circ c\quad |\,\,a_{l}^{-1}\circ \,\implies a_{l}^{-1}\circ (a\circ b)=a_{l}^{-1}\circ (a\circ c)\implies (a_{l}^{-1}\circ a)\circ b=(a_{l}^{-1}\circ a)\circ c\implies e\circ b=e\circ c\implies b=c$.$\qquad \qquad$Widerspruch zur Annahme, dass $b\neq c$.

Operationstafel vervollständigen

Mit diesem Wissen können wir nun die Operationstafel vervollständigen:

Aus der Existenz des neutralen Elementes suchen wir eine Zeile, deren Spaltenbeschriftungen mit den Elementen an deren entsprechenden Position übereinstimmen. Das sind die grün markierten Elemente der Operationstafel:

Es gäbe vorab zwei Möglichkeiten für das neutrale Element:

• Möglichkeit: $a$ sei das neutrale Element, da bereits gilt $\mathbf {a\circ a=a}$ und $\forall \,x\in G\,\colon \;x\circ a=a\circ x=x$ möglich wäre. Dann würde die erste Zeile folgend aussehen:

 ${\begin{array}{c|cccc}\circ &a&b&c&d\\\hline a&a&b&c&d\end{array}}$

• Möglichkeit: $d$ sei das neutrale Element, da $\forall \,x\in G\,\colon \,x\circ a=a\circ x=x$ möglich wäre. Dann würde die letzte Zeile folgend aussehen:

 ${\begin{array}{c|cccc}\circ &a&b&c&d\\\hline d&a&b&c&d\end{array}}$

Im zweiten Fall kommt das Element $\mathbf {a\in G}$ in der ersten Spalte ($y=x\circ \mathbf {a}$) zweimal vor ($\mathbf {y=a\circ a=d\circ a=a}$) $\implies$ nach den vorherigen Schlussfolgerungen darf in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal vorkommen, was hier zu einem Widerspruch führt.

$\implies$Das Element $\mathbf {a\in G}$ muss das eindeutige neutrale Element sein.

Das weitere Ausfüllen der Operationstafel mit den blauen Elementen ist eindeutig, da wir wissen, dass in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal vorkommen darf und muss.

${\begin{array}{c|cccc}\circ &\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} &\mathbf {d} \\\hline \mathbf {a} &\color {red}a&\color {green}b&\color {green}c&\color {green}d\\\mathbf {b} &\color {green}b&\color {red}a&\color {blue}d&\color {blue}c\\\mathbf {c} &\color {green}c&\color {blue}d&\color {red}a&\color {blue}b\\\mathbf {d} &\color {green}d&\color {blue}c&\color {blue}b&\color {blue}a\end{array}}$

$\implies$Diese Gruppe ist eine abelsche Gruppe (kommutative Gruppe) mit dem neutralen Element $\mathbf {a}$ und isomorph zur Klein'schen Vierergruppe (Bezeichnung $\mathbb {V_{4}}$ oder $\mathbb {Z_{2}} \times \mathbb {Z_{2}}$).

Links

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 236
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 237
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 239

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