TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 361

Man ergänze die folgende Operationstafel so, dass $\langle G=\{a,b,c,d\},*\rangle$ eine Gruppe ist:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a\\b&&c\\c&\\d&\end{array}}$

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oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Lösung

Wie schon in der Lösung von Beispiel 246 beschrieben, gibt es genau 2 bis auf Isomorphie verschiedene Gruppen mit 4 Elementen. Das ist jetzt die zweite.

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a&b&c&d\\b&b&c&d&a\\c&c&d&a&b\\d&d&a&b&c\end{array}}$

Sie heisst die zyklische Vierergruppe, zyklisch deshalb: b*b=c,b*b*b=d,b*b*b*b=a,b*b*b*b*b=b usw. Also die ganze Gruppe wird durch b erzeugt und man bewegt sich zyklisch durch die Gruppe.

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Ähnliche Beispiele:

• Beispiel 244
• Beispiel 245
• Beispiel 246