TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 246

Man ergänze die folgende Operationstafel so, daß $\left\langle G=\left\{a,b,c,d\right\},*\right\rangle$ eine Gruppe ist:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a\\b&&a\\c&&&a\\d\end{array}}$

Lösung (von Jurewitsch)

Wir alle wissen, was eine Gruppe ist, falls doch nicht:

Gruppentheorieartikel bei Wikipedia oder

ein Artikel im Matroids-Mathplanet (dieses Forum kann ich als Wissensquelle übrigens sehr empfehlen, da wissen Einige wirklich, was Sache ist).

Jetzt einfach noch die Tabelle nach Belieben so ergänzen, daß kein Widerspruch zu den Axiomen entsteht:

${\begin{array}{c|cccc}*&a&b&c&d\\\hline a&a&b&c&d\\b&b&a&d&c\\c&c&d&a&b\\d&d&c&b&a\end{array}}$

Kleine Anleitung wie man sie bastelt:

"a" als Neutralelement nehmen, weil es schon so schön oft da ist, die Inverselemente sind dann jeweils die Elemente selber, den Rest der freien Plätze einfach symmetrisch zur Diagonale auffüllen.

Diese Gruppe hat sogar einen Namen, sie heisst "Klein'sche Vierergruppe". Übrigens gibt bis auf Isomorphie (also bis auf die Vertauschung von Buchstaben) genau 2 Gruppen mit 4 Elementen.

Links

• Ähnliche Beispiele:

Beispiel 244

Beispiel 245

Beispiel 247

• Wikipädia:
  • Gruppentheorie

• Matheplanet:
  • Artikel#632