TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 387

Sei $\varphi :G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $e$ das neutrale Element von $G$. Man zeige, daß $\varphi (e)$ das neutrale Element von $H$ ist. (Hinweis: Man verwende Beispiel 248).

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Hilfreiches

Definition:

Seien $<G,\circ >$ und $<H,\star >$ Gruppen.

Eine Abbildung $\varphi :G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$.

Definition:

$e$ heißt neutrales Element von $\circ$, wenn $\forall a\in M:\quad a\circ e=e\circ a=a$

Lösungsvorschlag

Weil es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, gilt

$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$

Wenn wir jetzt nicht zwei verschiedene Elemente von G miteinander verknüpfen, sondern a = b = $e_{G}$ setzen, erhalten wir

$\varphi (e_{G}\circ e_{G})=\varphi (e_{G})\star \varphi (e_{G})$

$\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G})\star \varphi (e_{G})$

Wir haben also ein Elemtent $\varphi (e_{G})\in H$ gefunden, das mit sich selbst verknüpft (mit der Operation $\star$) wieder sich selbst ergibt. Und wie wir aus Beispiel 248 wissen, muss es deshalb das neutrale Element sein. Also gilt

$\varphi (e_{G})=e_{H}$

mfg, W wallner

Links

• Hilfreich: Beispiel 248
• Ähnlich:
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 265
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 266
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 268
• Wikipädia:
  • Gruppenhomomorphismus
  • neutrales Element