TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 427

Beweisen Sie, daß die angegebene Identität in einem Ring $R$ für alle $a,b\in R$ gilt (-$c$ bezeichnet das additive Inverse zu $c$)

$(-a)b=-(ab)$

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Lösungsvorschlag

--Jellyfish 04:05, 12. Dez 2007 (CET)JELLYFISH:

(R,+):abelsche Gruppe (R,*):Monoid

wenn a,b gehören R , dann (a * b) gehört R -->[ (a*b)+ -(a*b) = 0 ] (0 neutrales Element bez. "+")

(a + (-a) = 0)

(a + (-a)) * b = 0 * b

(a + (-a)) * b = 0

laut distributivitat :

 a* b + (-a) * b = 0

und jetzt addieren wir [-(a*b)] auf beiden seiten:

also -(a*b) + a*b + (-a) * b = - (a * b)

aber -(a*b) + (a*b) = 0

also

(-a) * b = - (a * b)

p.s.:smile :) By Jellyfish

Zusatz: Beweis dass 0 * b = 0 (vom Übungsleiter verlangt ;)

0 + 0 = 0

(0 + 0)*b = 0*b |Distributivgesetz in jedem Ring gültig

0*b + 0*b = 0*b |-(0*b)

0*b = 0

Lösungsvorschlag von m4rS

Nachdem in der Angabe steht, dass -c das additiv Inverse ist, wollt ich das unbedingt in die Lösung einfließen lassen ;), also hier meine Varainte, keine Ahnung obs stimmt

$(-a)b=-(ab)$ ist das gleiche wie $(-a)b=-(ab)+0$

Das additiv Inverse zu $-(ab)$ ist $--(ab)=+(ab)$ , addieren wir zu beiden Seiten, ergibt $(-a)b+(ab)=0$

Damit ist $+(ab)$ auch das additiv Inverse zu $(-a)b$ und da es laut Def. in einer Gruppe nur ein Inverses Element zu jedem geben kann, ist $(-a)b=-(ab)$

Anmerkung von Ryus: Ich bezweifle die Richtigkeit dieser Lösung, da hier - so wie ich das sehe - einfach von dem ausgegangen wird, was zu beweisen ist (wir nehmen die zu beweisende Formel und zeigen, dass wenn sie stimmt, sie dann stimmt), was dann natürlich so eine Art Zirkelschluss ist.

Lösungsvorschlag von Berti

(Basierend auf der Lösung von Jellyfish mit ergänzenden Erklärungen)

Eine algebraische Struktur heißt Ring, wenn $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist, $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze gelten (siehe Definition 2.68). Nach dem $(R,+)$ eine kommutative (Abelsche) Gruppe ist, muss es ein neutrales Element und ein inverses Element für $a$ geben:

$a+(-a)=0$

Nach dem $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist, muss zumindest das Ergebnis von zwei Operationen wieder in der Halbgruppe enthalten sein. Deshalb können wir beide Seiten einfach mit $b$ multiplizieren:

$(a+(-a))\cdot b=0\cdot b$

Nun müssen wir zeigen, dass $0=0\cdot b$ gilt (siehe auch Mathematik für Informatik (2014), S. 90):

$0\cdot b=b\cdot 0=0$ gilt in jedem Ring, weil:

$0+0=0$

$b\cdot 0=b\cdot (0+0)=b\cdot 0+b\cdot 0$

Nach Addition mit $-(b\cdot 0)$ folgt:

$0=b\cdot 0$

Daher können wir schreiben:

$(a+(-a))\cdot b=0$

Nach dem Distributivitätsgesetz können wir die Klammern ausmultiplizieren:

$a\cdot b+(-a)\cdot b=0$

Jetzt müssen wir nur noch $a\cdot b$ auf die rechte Seite bringen und wir sind fertig:

Da $a,b\in R$ gilt auch $a\cdot b\in R$ weil $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist und $-(a\cdot b)\in R$ gilt ebenfalls, da das das inverse Element bezüglich der Addition $(R,+)$ ist:

$a\cdot b+(-(a\cdot b))+(-a)\cdot b=0-(a\cdot b)$

$(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$

-- Berti933 (Diskussion) 16:25, 18. Jan. 2015 (CET)

Links

• ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 302
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 303