TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 441

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Nur teilweise gelöst: b) ist ungelöst.

Man zeige, dass die folgenden algebraischen Strukturen Verbände sind. Welche sind außerdem distributiv, und welche sind Boolesche Algebren

a)  (\R, \mathrm{min}, \mathrm{max})

b)  (\N \setminus \{0\}, \mathrm{ggT}, \mathrm{kgV})

Hilfreiches[Bearbeiten]

Verband äquivalent Halbordnung[Bearbeiten]

Satz (Idee von Leibniz):

Nach einer Idee von Leibniz kann man einen Verband  (M,\wedge, \vee) auch als eine Halbordnung darstellen (und umgekehrt). Zwischen dem Verband und der Halbordnung muss dann folgende Beziehung bestehen:

 a \leq b \quad \iff \quad a = a \wedge b \quad \iff \quad b = a \vee b \quad

Anders ausgedrückt:

 \mathrm{inf}(a,b) \iff a \wedge b \qquad \mathrm{sup}(a,b) \iff a \vee b

Lösungsvorschlag für a) von Piri[Bearbeiten]

Verband?

Bekanntlicher Weise bildet \R mit der Relation  aRb \Longleftrightarrow a \leq b eine Totalordnung. Da

\mathrm{inf}(a,b) \iff \mathrm{min}(a,b) \qquad  \mathrm{sup}(a,b) \iff \mathrm{max}(a,b)

gilt folgt daraus, dass es sich um einen Verband handelt.

Distributiver Verband?

Damit der Verband distributiv ist müssen

1.  \mathrm{min}(a, \mathrm{max}(b,c)) = \mathrm{max}(\mathrm{min}(a,b), \mathrm{min}(a,c))

2.  \mathrm{max}(a, \mathrm{min}(b,c)) = \mathrm{min}(\mathrm{max}(a,b), \mathrm{max}(a,c))

gezeigt werden. Um das zu zeigen können wir einfach naiv für alle Permutationen von  a \leq b \leq c in die Formeln einsetzen. Da aber die Rollen von b und c vertauschbar sind kann man es von 6 auf 3 Permutationen reduzieren:

1.  a \leq b \leq c

2.  b \leq a \leq c

3.  b \leq c \leq a

Nun setzt man für die 3 Permutationen in die Formeln ein und sieht, dass die Distributivgesetze für alle Permutationen gelten. Daraus folgt, dass es sich um einen distributiven Verband handelt.

Anmerkung 1: Es reicht eigentlich nur 1. Distributivgesetz zu zeigen, das andere folgt daraus. Wir haben den Beweis meines Wissens nach nicht in der Vorlesung geführt, er findet sich aber auf Wikipedia wieder.

Anmerkung 2: Laut Wikipedia ist jede total geordnete Menge ein distributiver Verband, mir fehlt jedoch der Beweis deswegen habe ich das in meiner Lösung nicht verwendet.

Boolesche Algebra?

Damit es sich um eine Boolesche Algebra handelt muss es ein 1-Element bzgl. \mathrm{min} geben. Das es kein 1-Element geben kann lässt sich schnell zeigen:

Nehmen wir an es gibt ein 1-Element m \in \R. D.h. es muss  \mathrm{min}(a,m) = a gelten.

Da  m \in \R ist auch  (m+1) \in \R . Daraus ergibt sich der Widerspruch  \mathrm{min}(m + 1, m) = m

Also handelt es sich um keine Boolesche Algebra!

Links[Bearbeiten]

Verband