TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 48

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Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

\frac{|z+4|}{|z-4|} < 3

Nützliches und Hilfreiches[Bearbeiten]

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = \sqrt{a^2+b^2}
  Kreisgleichung:                    r  = \sqrt{a^2+b^2}

siehe auch Beispiel 71

Umrechnung komplex[Bearbeiten]

Umrechnung von komplexen Zahlen:

  • Kartesische \longrightarrow Polar-Darstellung: \;(a, \mathsf{i}b)\;\rightarrow\;[r, \varphi]:
r=\sqrt{a^2+b^2},
\varphi=\begin{cases}
\arctan\frac{b}{a}&a>0\qquad\text{(I., IV. Quadrant)}\\
\arctan\frac{b}{a}+\pi&a<0, b>0\quad\text{(II. Quadrant)}\\
\arctan\frac{b}{a}-\pi&a<0, b<0\quad\text{(III. Quadrant)}
\end{cases}
  • Polare \longrightarrow kartesische Darstellung: \;[r, \varphi]\;\rightarrow\;(a, \mathsf{i}b):\quad
\begin{cases}a=r\cdot\cos\varphi\\b=r\cdot\sin\varphi\end{cases}

Lösung von Zombie88[Bearbeiten]

In Bezug auf die oben erwähnten nützlichen Tatsachen kann man schreiben:

 \frac {\sqrt{(a+4)^2+b^2}}{\sqrt{(a-4)^2+b^2}} < 3

Das ganze mit \sqrt{(a-4)^2+b^2} multipliziert und (a-4)^2 gleich aufgelöst, ergibt:

\sqrt{a^2+8a+16+b^2} < 3 \sqrt{a^2-8a+16+b^2}

Quadriert:

a^2+8a+16+b^2  <  9(a^2-8a+16+b^2)

Klammer ausmultipliziert:

a^2+8a+16+b^2  < 9a^2-72a+144+9b^2

Die rechte Seite vom Ganzen abziehen:

a^2-9a^2+72a+8a+16-144+b^2-9b^2 < 0     

daraus wird dann das:

-8a^2+80a-128-8b^2 < 0

Alles mit -\frac {1}{8} multiplizeren: (zu beachten: bei multiplikation mit -1 bzw. -(1/8) wird der Vergleichsoperator verändert - < \rightarrow >)

a^2-10a+16+b^2 > 0

Hier wird jetzt auf ein vollständiges Quadrat ergänzt, darum die -9 hinten (25-9=16):

a^2-10a+25+b^2-9 > 0

Jetzt wird das vollständige Quadrat angeschrieben:

a^2-10a+25 = (a-5)^2

Was hier noch gemacht wird ist die -9 auf die rechte Seite bringen und als 3^2 anschreiben

 (a-5)^2 + b^2 > 3^2

weil  (a-5)^2 + b^2 = \left|z-5\right|^2  :

\left|z-5\right|^2 > 3^2

woraus folgt:

\left|z-5\right| > 3    (I)

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die (I) erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius (x-5)^2 + b^2 vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 5 liegt vor. Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.

superphil0: Der Radius ist 3!!! __________

Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie88.

Hapi

Alternative Lösung ohne Umweg über z = a+bi[Bearbeiten]

\frac{|z+4|}{|z-4|} < 3

|z+4| < 3*|z-4|

1. Ansatz |z|^2= z*\bar{z}

|z+4|^2 < 9*|z-4|^2

(z+4)*(\bar{z}+4) < 9(z-4)(\bar{z}-4)

(z+4)*(\bar{z}+4) < 9(z-4)(\bar{z}-4)

Ausmultiplizieren:

z*\bar{z} + 4*\bar{z} + 4z + 16 < 9 z * \bar{z} - 36 * \bar{z} - 36z + 144

Umformen und gleich durch 8 dividieren:

z*\bar{z} - 5 * \bar{z} - 5 * z + 16 > 0

Auf ein vollständiges Quadrat bringen:

z*\bar{z} - 5 * \bar{z} - 5 * z + 25 - 9 > 0

|z-5|^2 - 9 > 0

Umformen:

|z-5|^2 > 9

Wurzln und siehe da gleiches Ergebnis wie oben!

|z-5| > 3