TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 530

Ein Produzent verarbeitet die Rohstoffe R1, R2, R3. Der Verbrauch der Rohstoffe während der vier Wochen eines Monats sind in der Matrix R angegeben. Diese Rohstoffe sollen bei einem von 2 Lieferanten L1, L2 bezogen werden, wobei die Rohstoffpreise in der nachstehenden Matrix L angegeben sind.

$R=\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 12\\ 10& 6& 5\\ 7& 8& 5\\ 11& 7& 9\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 10& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$

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Verschoben

Die Beispielnummer habe ich von 534 auf 530 verschoben <Har203>.

Lösungsvorschlag von m0mo

$\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 12\\ 10& 6& 5\\ 7& 8& 5\\ 11& 7& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 10& 6\\ 7& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}188& 152\\ 175& 116\\ 171& 116\\ 221& 158\end{array}\right)$

Der Lieferant 2 ist billiger!

Hilfreiches von Har203

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Umgekehrt legt jede Matrix${}^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Matrix

Eine Matrix ist also eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

$A:\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K,(i,j)\mapsto a_{ij},$

die jedem Indexpaar $(i,j)$ als Funktionswert das Element $a_{ij}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar $(1,2)$ als Funktionswert das Element $a_{12}$ zugeordnet. Der Funktionswert $a_{ij}$ ist also das Element in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Die Variablen $m$ und $n$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge $\mathrm{Abb}(\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\},K)$ aller $m\times n$-Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen $K^{m,n},$ $M(m\times n,K)$ oder seltener ${}^m{K}^n$ benutzt.

Lösungsvorschlag von Har203

Wir haben die beiden Matrizen bereits in jener Form, um die resultierende Matrix $A$ mit den Kosten (in W für Währung) für Rohstoffeinkaufspreise der vier Wochen je Lieferant berechnen zu können. Die Matrix $A$ besteht aus zwei Spalten, wobei die erste die Kosten je Wocheneinkäufe des ersten Lieferanten und die zweite jenen des zweiten Lieferanten für die vier Wochen angibt. Dabei entsprechen die vier Zeilen den vier Wochen $Woch{e}_1\equiv x_1,y_1,Woch{e}_2\equiv x_2,y_2,Woch{e}_3\equiv x_3,y_3,Woch{e}_4\equiv x_4,y_4$.

Die Matrix $A$ besteht also aus zwei Spaltenvektoren: $A=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\end{array}\right)\end{array}\right):$ links für $L1$ und rechts für $L2$.

Wir werden nun die beiden Matrizen, links die $4\times 3$-Matrix und rechts die $3\times 4$-Matrix multiplizieren. Damit erhalten wir die vier Wocheneinkäufe der Produkte je Lieferant gelistet$:$ links $L1$ und rechts $L2$. Über diese Matrix können wir die vier Wocheneinkäufe je Lieferant untersuchen.

$\begin{array}{cccc}\text{Woche/Rohstoff }& R_1& R_2& R_3\\ \text{1. Woche }& 8& 4& 12\\ \text{2. Woche }& 10& 6& 5\\ \text{3. Woche }& 7& 8& 5\\ \text{4. Woche }& 11& 7& 9\end{array}\mapsto A=\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 12\\ 10& 6& 5\\ 7& 8& 5\\ 11& 7& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\begin{array}{c}8\\ 10\\ 7\end{array}& \begin{array}{c}4\\ 6\\ 8\end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}188\\ 175\\ 171\\ 221\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}152\\ 116\\ 116\\ 158\end{array}\right)\end{array}\right)$

$Tota{l}_{L1/L2}:T=A^T\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}188& 175& 171& 221\end{array}\\ \begin{array}{cccc}152& 116& 116& 158\end{array}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}755& 542\end{array}\right)$

Über die Matrix $T$ können wir die Summe aller vier Wocheneinkäufe je Lieferant untersuchen.

In allen vier Wochen ist der $2.$Lieferant billiger als der erste, damit auch in der Gesamtsumme der vier Wochen. D.h. der Händler sollte auf jeden Fall beim Lieferanten $L2$ bestellen. Der $1.$Lieferant ist in Summe der vier Wochen um 72 % teurer als der $2.$Lieferant.$◼$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Lineare Abbildung
• Matrix
• Matrizenmultiplikation

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_531