TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 520

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Sei A:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 die lineare Abbildung mit f\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=f\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}. Bestimmen Sie Kern ker(f) und f(\mathbb{R}^2) sowie dim(Kern f). Verifizieren Sie die Beziehung dim(ker(f))+rg(f) = dim(\mathbb{R}^2) und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches[edit]

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist f : V \to W eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge ker f := \{v \in V | f(v) = 0 \in W\} der Kern von f.

Lösung von scatmike[edit]

Nach der Angabe würde also die lineare Abbildung aus R² folgendermaßen aussehen: (Beachte: der obere Teil bildet auf den unteren Teil mittels der Funktion f ab)
f\frac{\begin{pmatrix}
1 & 2\\ 
0 & 3
\end{pmatrix}}{
\begin{pmatrix}
1 & 1\\ 
-2 & -2
\end{pmatrix}}
Da laut Angabe die Matrix f bezüglich der kanonischen Basis bestimmt werden soll formen wir den oberen Teil auf die Einheitsmatrix mittels Spalten Gauß um:
f\frac{\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 3
\end{pmatrix}}{
\begin{pmatrix}
1 & -1\\ 
-2 & 2
\end{pmatrix}}
<italic>Im ersten Schritt multiplizieren wir die erste Spalte * 2 und subtrahieren diese von der zweiten Spalte. Im nächsten Schritt dividieren wir die zweite Spalte durch 3:

f\frac{\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}}{
\begin{pmatrix}
1 & \frac{-1}{3}\\ 
-2 & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}}
Jetzt haben wir die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. Daraus können wir die Basis ablesen und den Kern(f) ausrechnen:

Kern[edit]

Für den Kern folgendes Lineares Gleichungssystem lösen:
\begin{pmatrix}
1 & \frac{-1}{3}\\ 
-2 & \frac{2}{3}
\end{pmatrix} = \binom{0}{0}
Das Ergebnis für den Kern sollte der Vektor  (\frac{1}{3}) sein. Also dieser Vektor wird auf 0 abgebildet.

Bild[edit]

(alles ohne Gewähr)
f(\overrightarrow{x}) = A*\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}
1 & \frac{-1}{3}\\ 
-2 & \frac{2}{3}
\end{pmatrix} * \binom{x1}{x2} = \begin{pmatrix}
x1 & \frac{-x2}{3}\\ 
-2*x1 & \frac{2*x2}{3}
\end{pmatrix}
Die Basis von f kann man dann wie folgt in Parameterschreibweise schreiben:

x1*\binom{1}{-2}+x2*\binom{\frac{-1}{3}}{\frac{2}{3}}

Was fehlt[edit]

Es fehlt noch wie man die Dimension Kern und den Rang der Abbildung bestimmen kann

Links[edit]

Wikipedia:

Beispiele: