TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 520

Sei $A:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ die lineare Abbildung mit $f\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=f\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$. Bestimmen Sie Kern $ker(f)$ und $f(\mathbb{R}^2)$ sowie dim(Kern $f$). Verifizieren Sie die Beziehung $dim(ker(f))+rg(f) = dim(\mathbb{R}^2)$ und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist $f : V \to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge $ker f := \{v \in V | f(v) = 0 \in W\}$ der Kern von f.

Lösung von scatmike

Nach der Angabe würde also die lineare Abbildung aus R² folgendermaßen aussehen: (Beachte: der obere Teil bildet auf den unteren Teil mittels der Funktion f ab)
$f\frac{\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 3 \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -2 & -2 \end{pmatrix}}$
Da laut Angabe die Matrix f bezüglich der kanonischen Basis bestimmt werden soll formen wir den oberen Teil auf die Einheitsmatrix mittels Spalten Gauß um:
$f\frac{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -2 & 2 \end{pmatrix}}$
<italic>Im ersten Schritt multiplizieren wir die erste Spalte * 2 und subtrahieren diese von der zweiten Spalte. Im nächsten Schritt dividieren wir die zweite Spalte durch 3:
$f\frac{\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix} 1 & \frac{-1}{3}\\ -2 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}}$ Jetzt haben wir die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. Daraus können wir die Basis ablesen und den Kern(f) ausrechnen:

Kern

Für den Kern folgendes Lineares Gleichungssystem lösen:
$\begin{pmatrix} 1 & \frac{-1}{3}\\ -2 & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \binom{0}{0}$
Das Ergebnis für den Kern sollte der Vektor $(\frac{1}{3})$ sein. Also dieser Vektor wird auf 0 abgebildet.

Bild

(alles ohne Gewähr)
$f(\overrightarrow{x}) = A*\overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{-1}{3}\\ -2 & \frac{2}{3} \end{pmatrix} * \binom{x1}{x2} = \begin{pmatrix} x1 & \frac{-x2}{3}\\ -2*x1 & \frac{2*x2}{3} \end{pmatrix}$
Die Basis von f kann man dann wie folgt in Parameterschreibweise schreiben:
$x1*\binom{1}{-2}+x2*\binom{\frac{-1}{3}}{\frac{2}{3}}$

Was fehlt

Es fehlt noch wie man die Dimension Kern und den Rang der Abbildung bestimmen kann

Links

Wikipedia:

• Rang
• Kern
• Dimension

Beispiele:

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 372