TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 520

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Sei die lineare Abbildung mit . Bestimmen Sie Kern und sowie dim(Kern ). Verifizieren Sie die Beziehung und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches[edit]

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge der Kern von f.

Lösung von scatmike[edit]

Nach der Angabe würde also die lineare Abbildung aus R² folgendermaßen aussehen: (Beachte: der obere Teil bildet auf den unteren Teil mittels der Funktion f ab)

Da laut Angabe die Matrix f bezüglich der kanonischen Basis bestimmt werden soll formen wir den oberen Teil auf die Einheitsmatrix mittels Spalten Gauß um:

<italic>Im ersten Schritt multiplizieren wir die erste Spalte * 2 und subtrahieren diese von der zweiten Spalte. Im nächsten Schritt dividieren wir die zweite Spalte durch 3:
Jetzt haben wir die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. Daraus können wir die Basis ablesen und den Kern(f) ausrechnen:

Kern[edit]

Für den Kern folgendes Lineares Gleichungssystem lösen:

Das Ergebnis für den Kern sollte der Vektor sein. Also dieser Vektor wird auf 0 abgebildet.

Bild[edit]

(alles ohne Gewähr)

Die Basis von f kann man dann wie folgt in Parameterschreibweise schreiben:

Was fehlt[edit]

Es fehlt noch wie man die Dimension Kern und den Rang der Abbildung bestimmen kann

Links[edit]

Wikipedia:

Beispiele: