TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 520

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $f{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=f{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}$. Bestimmen Sie Kern $ker(f)$ und $f(\mathbb {R} ^{2})$ sowie dim(Kern $f$). Verifizieren Sie die Beziehung $dim(ker(f))+rg(f)=dim(\mathbb {R} ^{2})$ und bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches

Allgemein gilt: Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Kern einer Abbildung die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden. Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge $kerf:=\{v\in V|f(v)=0\in W\}$ der Kern von f.

Lösung von scatmike

Nach der Angabe würde also die lineare Abbildung aus R² folgendermaßen aussehen: (Beachte: der obere Teil bildet auf den unteren Teil mittels der Funktion f ab)
$f{\frac {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-2&-2\end{pmatrix}}}$
Da laut Angabe die Matrix f bezüglich der kanonischen Basis bestimmt werden soll formen wir den oberen Teil auf die Einheitsmatrix mittels Spalten Gauß um:
$f{\frac {\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}}}$
<italic>Im ersten Schritt multiplizieren wir die erste Spalte * 2 und subtrahieren diese von der zweiten Spalte. Im nächsten Schritt dividieren wir die zweite Spalte durch 3:
$f{\frac {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{\frac {-1}{3}}\\-2&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}}$ Jetzt haben wir die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis. Daraus können wir die Basis ablesen und den Kern(f) ausrechnen:

Kern

Für den Kern folgendes Lineares Gleichungssystem lösen:
${\begin{pmatrix}1&{\frac {-1}{3}}\\-2&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\binom {0}{0}}$
Das Ergebnis für den Kern sollte der Vektor $({\frac {1}{3}})$ sein. Also dieser Vektor wird auf 0 abgebildet.

Bild

(alles ohne Gewähr)
$f({\overrightarrow {x}})=A*{\overrightarrow {x}}={\begin{pmatrix}1&{\frac {-1}{3}}\\-2&{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}*{\binom {x1}{x2}}={\begin{pmatrix}x1&{\frac {-x2}{3}}\\-2*x1&{\frac {2*x2}{3}}\end{pmatrix}}$
Die Basis von f kann man dann wie folgt in Parameterschreibweise schreiben:
$x1*{\binom {1}{-2}}+x2*{\binom {\frac {-1}{3}}{\frac {2}{3}}}$

Was fehlt

Es fehlt noch wie man die Dimension Kern und den Rang der Abbildung bestimmen kann

Links

Wikipedia:

• Rang
• Kern
• Dimension

Beispiele:

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 372