TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS2022/Beispiel 376

Es sei $U$ eine Untergruppe der Gruppe $G$. Man zeige, dass die Relation $a\sim b\iff a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation auf $G$ ist und dass die Äquivalenzklassen von $\sim$ die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ sind.

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Hilfreiches

Äquivalenzrelation:
Eine binäre Relation $\sim$ auf einer Menge $A$ heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
1.Reflexivität:$\mathrm{\forall }a\in A:a\sim a$
2.Symmetrie:$\mathrm{\forall }a,b\in A:a\sim b\Rightarrow b\sim a$
3.Transitivität:$\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a\sim b\wedge b\sim c)\Rightarrow a\sim c$

Äquivalenzklassen:
Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $A$. Für alle $a\in A$ heißt die Menge $[a]=\{b\in A\mid b\sim a\}$ die von $a$ erzeugte Äquivalenzklasse.

Lösungsvorschlag

Dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist, ist leicht zu zeigen.

Wir wollen nun zeigen, dass $[a]=a\circ U$. Die Gleichheit von Mengen zeigt man, indem man beweist, dass die Mengen ineinander enthalten sind, also:

$$[a]\subseteq a\circ U\subseteq [a]$$

Erstens: $[a]\subseteq a\circ U$

Sei $x\in [a]$, dann wissen wir, dass $x\circ U=a\circ U$. Nachdem das neutrale Element in $U$ sein muss, $e\in U$, folgt daraus, dass $x\in a\circ U$. Somit ist gezeigt, dass $[a]\subseteq a\circ U$.

Zweitens: $a\circ U\subseteq [a]$

Sei $x\in a\circ U$. Dann wissen wir, dass es ein $u\in U$ gibt, sodass $x=a\circ u$. Daraus folgt wiederum, dass für die Nebenklasse von $x$ gilt: $$x\circ U=a\circ u\circ U=a\circ U$$ wobei benutzt wurde, dass $u\in U$ gilt. Somit haben wir gezeigt, dass $a\circ U\subseteq [a]$.

Nachdem sowohl $[a]\subseteq a\circ U$ als auch $a\circ U\subseteq [a]$ folgt daraus, dass $[a]=a\circ U$.