TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS2022/Beispiel 376

Es sei $U$ eine Untergruppe der Gruppe $G$. Man zeige, dass die Relation $a\sim b\Leftrightarrow a\circ U=b\circ U$ eine Äquivalenzrelation auf $G$ ist und dass die Äquivalenzklassen von $\sim$ die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ sind.

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Hilfreiches

Äquivalenzrelation:
Eine binäre Relation $\sim$ auf einer Menge $A$ heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
1.Reflexivität:$\forall a\in A:a\sim a$
2.Symmetrie:$\forall a,b\in A:a\sim b\Rightarrow b\sim a$
3.Transitivität:$\forall a,b,c\in A:(a\sim b\land b\sim c)\Rightarrow a\sim c$

Äquivalenzklassen:
Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $A$. Für alle $a\in A$ heißt die Menge $[a]=\{b\in A\mid b\sim a\}$ die von $a$ erzeugte Äquivalenzklasse.

Lösungsvorschlag

Dass ${\textstyle \sim }$ eine Äquivalenzrelation ist, ist leicht zu zeigen.

Wir wollen nun zeigen, dass ${\textstyle [a]=a\circ U}$. Die Gleichheit von Mengen zeigt man, indem man beweist, dass die Mengen ineinander enthalten sind, also:

$${}[a]\subseteq a\circ U\subseteq [a]$$

Erstens: ${\textstyle [a]\subseteq a\circ U}$

Sei ${\textstyle x\in [a]}$, dann wissen wir, dass ${\textstyle x\circ U=a\circ U}$. Nachdem das neutrale Element in ${\textstyle U}$ sein muss, ${\textstyle e\in U}$, folgt daraus, dass ${\textstyle x\in a\circ U}$. Somit ist gezeigt, dass ${\textstyle [a]\subseteq a\circ U}$.

Zweitens: ${\textstyle a\circ U\subseteq [a]}$

Sei ${\textstyle x\in a\circ U}$. Dann wissen wir, dass es ein ${\textstyle u\in U}$ gibt, sodass ${\textstyle x=a\circ u}$. Daraus folgt wiederum, dass für die Nebenklasse von ${\textstyle x}$ gilt:

$$x\circ U=a\circ u\circ U=a\circ U$$

wobei benutzt wurde, dass ${\textstyle u\in U}$ gilt. Somit haben wir gezeigt, dass ${\textstyle a\circ U\subseteq [a]}$.

Nachdem sowohl ${\textstyle [a]\subseteq a\circ U}$ als auch ${\textstyle a\circ U\subseteq [a]}$ folgt daraus, dass ${\textstyle [a]=a\circ U}$.