TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 111

Sei $M=\mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \{0\})$ und $R$ eine Relation auf $M$ gegeben durch

$(a,b)R(c,d):\Leftrightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$

Zeigen Sie, dass $R$ eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die durch $R$ induzierte Partition

von M.

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Lösungsvorschlag von 396c61483a99cc0a

Reflexivität

${\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}\quad \Longrightarrow \quad (a,b)R(a,b)$

Symmetrie

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Rightarrow {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\quad \Longrightarrow \quad (a,b)R(c,d)\Rightarrow (c,d)R(a,b)$

Transitivität

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\wedge {\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {e}{f}}\quad \Longrightarrow \quad (a,b)R(c,d)\wedge (c,d)R(e,f)\Rightarrow (a,b)R(e,f)$

Äquivalenzklassen und Partition

Die Äquivalenzklassen ergeben sich aus der Definition zu

$K((a,b))=\left\{\left({\frac {a}{b}}x,x\right)\vert x\in \mathbb {R} \right\}$.

Dabei sieht man, dass es sich dabei um die Geraden durch den Ursprung handelt mit Ausnahme der x-Achse.

Daraus folgt, dass man jeder Klasse einen geeigneten Repräsentanten am Einheitskreis geben kann:

$(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))\in K((a,b))$

mit $\tan(\alpha )=b/a$.

Als Partition von $M$ erhält man somit

$A_{\alpha }=K((\cos(\alpha ),\sin(\alpha )),\quad 0<\alpha <\pi$,

was die definierenden Eigenschaften einer Partition erfüllt:

$M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}=\bigcup _{0<\alpha <\pi }A_{\alpha }$

$\alpha \neq \beta \Rightarrow A_{\alpha }\cap A_{\beta }=\emptyset$