TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 111

Sei $M=ℝ\times (ℝ\setminus \{0\})$ und $R$ eine Relation auf $M$ gegeben durch

$(a,b)R(c,d):\iff \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Zeigen Sie, dass $R$ eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die durch $R$ induzierte Partition

von M.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von 396c61483a99cc0a

Reflexivität

$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}⟹(a,b)R(a,b)$

Symmetrie

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{a}{b}⟹(a,b)R(c,d)\Rightarrow (c,d)R(a,b)$

Transitivität

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\wedge \frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{e}{f}⟹(a,b)R(c,d)\wedge (c,d)R(e,f)\Rightarrow (a,b)R(e,f)$

Äquivalenzklassen und Partition

Die Äquivalenzklassen ergeben sich aus der Definition zu

$K((a,b))=\{(\frac{a}{b}x,x)|x\in ℝ\}$.

Dabei sieht man, dass es sich dabei um die Geraden durch den Ursprung handelt mit Ausnahme der x-Achse.

Daraus folgt, dass man jeder Klasse einen geeigneten Repräsentanten am Einheitskreis geben kann:

$(\cos (\alpha ),\sin (\alpha ))\in K((a,b))$

mit $\tan (\alpha )=b/a$.

Als Partition von $M$ erhält man somit

$A_{\alpha }=K((\cos (\alpha ),\sin (\alpha )),0<\alpha <\pi$,

was die definierenden Eigenschaften einer Partition erfüllt:

$M=ℝ\times ℝ\setminus \{0\}=\bigcup _{0<\alpha <\pi }{A}_{\alpha }$

$\alpha \ne \beta \Rightarrow A_{\alpha }\cap A_{\beta }=\mathrm{\varnothing }$