TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 138

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{(\log _{3}(x),x^{2})|x\in \mathbb {R^{+}} \}$, $A=\mathbb {R}$, $B=\mathbb {R^{+}}$

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Lösungsvorschlag

$R\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}$ is eine bijektive Funktion.

Um das einzusehen, ist es hilfreich sich die Relation als eine parametrisierte Kurve in der Ebene vorzustellen.

${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\log _{3}(t)\\t^{2}\end{pmatrix}},\quad t>0$

(Es ist instruktiv, die Kurve zu zeichnen, indem man Werte für $t$ einsetzt; gute Werte sind z.B. $0.01$, $0.1$, $1$, $10$.)

Eine geeignete Reparametrisierung, ${\tilde {x}}=x\circ \phi$, ${\tilde {y}}=y\circ \phi$, mit $\phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+},\,s\mapsto 3^{s}$ führt zu folgender Parametrisierung der Kurve:

${\begin{pmatrix}{\tilde {x}}(s)\\{\tilde {y}}(s)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s\\3^{2s}\end{pmatrix}},\quad s\in \mathbb {R}$

Somit haben wir folgende einfachere Form der Relation:

$R=\{(x,3^{2x})|x\in \mathbb {R} \}$

Daraus folgt recht einfach, dass $R$ eine bijektive Funktion ist.