TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Buch Mathematik fuer Informatik/Beispiel 1.11

Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen $n$ die beiden Teilbarkeitseigenschaften $2|(n^{2}+n)$ und $6|(n^{3}-n+12)$ gelten.

Dieses Beispiel ist als wrong markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Lösungsvorschlag von Mpp

--Mpp 15:18, 29. Jan. 2022 (CET)

Unteraufgabe: $2|(n^{2}+n)$

${\frac {n^{2}+n}{2}}\in \mathbb {N}$

Induktionsanfang

$n=1$ ... ${\frac {1^{2}+1}{2}}=1$ ... $1\in \mathbb {N}$

Induktionsvoraussetzung

$\exists n\in \mathbb {N} :{\frac {n^{2}+n}{2}}\in \mathbb {N}$

Induktionsbedingung

${\frac {(n+1)^{2}+(n+1)}{2}}\in \mathbb {N}$

Induktionsschritt

${\frac {(n+1)^{2}+(n+1)}{2}}$
$={\frac {n^{2}+1+n+1}{2}}$
$={\frac {2+n^{2}+n}{2}}$
$={\frac {2}{2}}*{\frac {n^{2}+n}{2}}$
Der rechte Teil ${\frac {n^{2}+n}{2}}$ ist wie in der Induktionsvoraussetzung.
Der linke Teil ist 1, also egal.

Unteraufgabe: $6|(n^{3}-n+12)$

${\frac {n^{3}-n+12}{6}}\in \mathbb {N}$

Induktionsanfang

$n=1$ ... ${\frac {1^{3}-1+12}{6}}=2$ ... $2\in \mathbb {N}$

Induktionsvoraussetzung

$\exists n\in \mathbb {N} :{\frac {n^{3}-n+12}{6}}\in \mathbb {N}$

Induktionsbedingung

${\frac {(n+1)^{3}-(n+1)+12}{6}}\in \mathbb {N}$

Induktionsschritt

${\frac {n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1+12}{6}}$
${\frac {2^{3}+3n^{2}+2n+12}{6}}$
${\frac {3n^{2}-3n}{6}}+{\frac {3^{2}-n+12}{6}}$
${\frac {n^{2}-n}{2}}+{\frac {3^{2}-n+12}{6}}$
Der rechte Ausdruck ist gleich der Induktionsvoraussetzung.
Bin mir nicht sicher ob die folgenden Schritte notwendig sind
Jetzt muss man nur noch beweisen, dass der linke Ausdruck immer eine Zahl aus $\mathbb {N}$ ergibt. Das können wir durch vollständige Induktion beweisen.

Induktionsanfang

$n=1$ ... ${\frac {1^{2}-1}{2}}=1$ ... $1\in \mathbb {N}$

Induktionsvoraussetzung

$\exists n\in \mathbb {N} :{\frac {n^{2}-n}{2}}\in \mathbb {N}$

Induktionsbedingung

${\frac {(n+1)^{2}-(n+1)}{2}}\in \mathbb {N}$

Induktionsschritt

${\frac {(n+1)^{2}-(n+1)}{2}}$
${\frac {(n+1)^{2}-(n+1)}{2}}$ = ${\frac {n^{2}+2n+1-n-1}{2}}$
${\frac {2n}{2}}+{\frac {n^{2}-n}{2}}$
$n+{\frac {n^{2}-n}{2}}$
Der rechte Ausdruck entspricht wieder der Induktionsvoraussetzung.
Der linke Ausdruck ist $n$ ... $n\in \mathbb {N}$