TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 121

Sei $f:A\to B$. Man zeige, daß durch $x\equiv y\iff f(x)=f(y)$ eine Äquivalenzrelation $\equiv$ auf der Menge $A$ definiert wird.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,

Symmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Reflexivität

Reflexivität

$\mathrm{\forall }a\in M:aRa$

Symmetrie

Symmetrie

$\mathrm{\forall }a,b\in M:aRb\Rightarrow bRa$

Transitivität

Transitivität

$\mathrm{\forall }a,b,c\in M:a\circ b\wedge b\circ c\Rightarrow a\circ c$

Lösung von Baccus

Für eine Äquivalenzrelation muß gelten: (R)eflexiv, (S)ymmetrisch, (T)ransitiv:

(R): $x\equiv x\iff f(x)=f(x)$

(S): $x\equiv y\Rightarrow y\equiv x:f(x)=f(y)\iff f(y)=f(x)$

(T): $x\equiv y\wedge y\equiv z\Rightarrow x\equiv z:f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\Rightarrow f(x)=f(z)$

QED

--Baccus

Links

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 100