TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 121
Sei die Menge alle natürlichen Zahlen, die 70 teilen. Man vergleiche die Hassediagramme der beiden Halbordnungen und .
Lösung für :
Die Potenzmenge der Menge {a,b,c}, also .
Das Hasse-Diagramm sieht daher wie folgt aus:
Das bedeutet: , , , etc.
Lösung für :
Die Menge bezeichnet die Menge aller Teiler von 70. Alle Zahlen sind durch 1 und durch sich selbst teilbar. Nicht-Primzahlen wie 70 sind zusätzlich noch durch ihre Primfaktoren (in diesem Fall 2, 5 und 7) und durch die Kombinationen dieser Primfaktoren (, , ) teilbar. Daher ist
Das Hasse-Diagramm dazu:
(Von Deez):
Das bedeutet: , , , , etc.
Die Ähnlichkeit sehe ich wie folgt: Setzt man die Mengen wie folgt {1,2,5,7} {0,a,b,c} und sieht das als 1 = 0 (leere menge) 2 = a 5 = b 7 = c
und damit löst sich das gesamten Hasse Diagramme ineinander auf: 70 = {a,b,c} = 2 * 5 * 7 14 = 2*7 = {a,c}
Das heißt < P(2,5,7), *> (ich hoff ich hab das formal richtig definiert) deckt sich mit der Definition von < P(a,b,c), <= ) und 2,5,7 entspricht genau den Primfaktoren von 70!
Nachsatz von Mnemetz : Es handelt sich um einen Isomorphismus!