TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 216

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung
$x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+x_{n}}},\qquad n=0,1,2,\dots$
mit $x_{0}\neq -1,-1/2,-1/3,\dots$ .
(Hinweis: Man benütze die Transformation $x_{n}=1/y_{n}$ .)

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lineare Differenzengleichung erste Ordnung mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die lineare Differenzengleichung erster Ordnung

$x_{n+1}=ax_{n}+b$ , $n=0,1,2,\dots$

gilt, wenn $a$ und $b$ konstant sind,

$x_{n}=a^{n}x_{0}+(1+a+\dots +a^{n-1})b={\begin{cases}a^{n}x_{0}+b{\frac {a^{n}-1}{a-1}}&{\text{ für }}a\neq 1\\x_{0}+bn&{\text{ für }}a=1\end{cases}}$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Transformation ( $x_{n}={\frac {1}{y_{n}}}$ und $x_{n+1}={\frac {1}{y_{n+1}}}$ einsetzen:

${\begin{aligned}x_{n+1}&={\frac {x_{n}}{1+x_{n}}}\\{\frac {1}{y_{n+1}}}&={\frac {\frac {1}{y_{n}}}{1+{\frac {1}{y_{n}}}}}\\y_{n+1}&={\frac {1+{\frac {1}{y_{n}}}}{\frac {1}{y_{n}}}}\\y_{n+1}&=y_{n}+1\end{aligned}}$

Nun kann man in die Formel mit $a=1$ und $b=1$ einsetzen und rücktransformieren:

${\begin{aligned}y_{n}&=y_{0}+1\cdot n\\{\frac {1}{x_{n}}}&={\frac {1}{x_{0}}}+n\\x_{n}&={\frac {1}{{\frac {1}{x_{0}}}+n}}\\x_{n}&={\frac {x_{0}}{1+n\cdot x_{0}}}\end{aligned}}$