TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 26

Zeigen Sie, dass ${\sqrt {5}}$ irrational ist!

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Hilfreiches

Indirekter Beweis

Primzahl teilt Quadrat

Primzahl teilt Quadrat

wenn $p|a^{2}$ dann auch $p|a$ Es gelten folgende Voraussetzungen:

• $p$ muss eine Primzahl sein
• $a$ muss eine ganze Zahl sein

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist $a$ eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

1. $a$ ist durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^{2}$ durch $p$ teilbar
2. $a$ ist nicht durch $p$ teilbar. Dann ist auch $a^{2}$ nicht durch $p$ teilbar: wenn $p$ nicht in der Primzahlenzerlegung von $a$ vorkommt, kann es auch nicht in der von $a^{2}$ vorkommen

Die Kontraposition des zweiten Falls: "Wenn $a^{2}$ durch $p$ teilbar ist, dann auch $a$". (Wäre $a$ nicht durch $p$ teilbar dann auch $a^{2}$ nicht)

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen: ${\sqrt {5}}$ ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich ${\sqrt {5}}$ als Bruch darzustellen: ${\sqrt {5}}={a \over b}$ mit natürlichen Zahlen $a$ und $b$. Weil es für jede rationale Zahl einen Bruch gibt, der soweit wie möglich gekürzt ist, muss das auch für ${\sqrt {5}}$ gelten. Wir nehmen an ${a \over b}$ ist dieser Bruch und somit maximal gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:

${\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=&{a \over b}\\5&=&{a^{2} \over b^{2}}\\5b^{2}&=&a^{2}\end{aligned}}$

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass $a^{2}$ durch 5 teilbar ist. Weil 5 eine Primzahl ist, muss auch $a$ durch 5 teilbar sein (siehe Erlärung oben), setzen wir $r$ sodass $a=5r$.

Weitere Umformung:

${\begin{aligned}5b^{2}&=&a^{2}\\5b^{2}&=&25r^{2}\\b^{2}&=&5r^{2}\end{aligned}}$

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass $b^{2}$ durch 5 teilbar ist und damit auch $b$.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch ${a \over b}$ soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl $a$ als auch $b$ durch 5 teilbar sind.

Lösungsvorschlag

• Behauptung: ${\sqrt {5}}\notin \mathbb {Q}$
• Beweis:

angenommen ${\sqrt {5}}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$, wobei $p,q\in \mathbb {N} ,q>0,ggT(p,q)=1$ (="p und q sind teilerfremd")

$5={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

$5q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow p=5r$ (weil 5 eine Primzahl ist. -> Primfaktorzerlegung siehe Forenbeitrag unten. wurde auch in Mathematik1 Übungsgruppe GL 09.11.06 - Urbanek so abgehandelt)

$(5r)^{2}=5q^{2}$

$25r^{2}=5q^{2}$

$5r^{2}=q^{2}$

$\Rightarrow q^{2}$ ist durch 5 teilbar $\Rightarrow q$ ist durch 5 teilbar

$\Rightarrow p,q$ sind nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind

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(aus f.thread:35452 - mit AMSLaTeX formatiert) --Mnemetz 20:32, 18. Okt 2005 (CEST)

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