TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 380

Man zeige, daß die von ${\overline {3}}$ erzeugte Untergruppe $U$ von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ ein Normalteiler von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe $\mathbb {Z} _{12}/U$.

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Hilfreiches

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $aN=Na,\forall a\in G$. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{aN\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Es gilt:

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler, somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden.

Interpretationsvorschlag von Vater Gans

Da die Addition von Restklassen kommutativ ist, bildet $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$ eine abelsche Gruppe, bei welcher jede Untergruppe einen Normalteiler darstellt.

Lösung von Hochi

Man zeige, dass die von 3 erzeugte Untergruppe U von <Z12, +> Normalteiler ist und bestimme die Gruppentafel der Faktorgruppe Z12 / U.

U = {0, 3, 6, 9}

U ist Normalteiler, weil <Z12, +> kommutativ ist, und daher die Linksnebenklassen mit den Rechtsnebenklassen übereinstimmen müssen.

Nebenklassen:

a := 0 + U = 3 + U = 6 + U = 9 + U = {0, 3, 6, 9 }
b := 1 + U = 4 + U = 7 + U = 10 + U = {1, 4, 7, 10}
c := 2 + U = 5 + U = 8 + U = 11 + U = {2, 5, 8, 11}

Verknüpfungstafel:

${\begin{array}{c|ccc}+&a&b&c\\\hline a&a&b&c\\b&b&c&a\\c&c&a&b\end{array}}$

a = neutrales Element

b ist zu c invers

Links:

• Diskussion im Informatik-Forum

Wikipädia:

• Gruppentheorie
• Untergruppe
• Normalteiler
• Nebenklasse
• Faktorgruppe
• Kommunistische Gruppe (Oha! :-)

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