TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 435

Man ermittle, ob beim Übergang von $R$ zu $R\times R$ (Beispiel 422) die folgenden Eigenschaften erhalten bleiben:

1. Kommutativität,
2. Nullteilerfreiheit,
3. Existenz eines Einselements.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Kommutativität ($M$ Trägermenge):

$\mathrm{\forall }a,b\in M:a\circ b=b\circ a$

Nullteiler $n$:

$\mathrm{\exists }n\ne 0\in M:a\circ n=n\circ a=0$

Neutrales Element $e$:

$\mathrm{\forall }e,a\in M:a\circ e=e\circ a=a$

Das neutrale Element $e$ ist immer eindeutig bestimmt.

• $\circ =+:e$ heißt auch Nullelement ("0").
• $\circ =\cdot :e$ heißt auch Einselement ("1").

Lösung von Piri

a) Ja ist kommutativ, da:

$(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c,b\cdot d)=(c\cdot a,d\cdot b)=(c,d)\cdot (a,b)$

b) nicht Nullteilerfrei, da:

$a,b\in Ra,b\ne 0$

$(a,0)\cdot (0,b)=(a\cdot 0,0\cdot b)=(0,0)$

c) Ja Einselement bleibt erhalten:

$(a,b)\cdot (1,1)=(a\cdot 1,b\cdot 1)=(a,b)$

Links

• In der Angabe referenziert: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 296

• Wikipedia:
  • Reelle_Zahlen
  • Vektorraum
  • Kommutativität
  • Nullteiler
  • neutrales Element