TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 422

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Sei ein Ring. Man zeige, dass dann auch mit den Operationen

ein Ring ist.

Hilfreiches[edit]

(Mit ist hier das Paar gemeint, dessen erste Komponente ist, und dessen zweite Komponente ist. Wenn zum Beispiel der Ring der ganzen Zahlen ist, dann wäre das Paar so ein .)

Ring
Ring[Bearbeiten, Wikipedia, 2.68 Definition]

Ein Ring ist eine Menge mit zwei binären Operationen und , sodass

  • eine kommutative Gruppe ist,
  • eine Halbgruppe ist,
  • die Distributivgesetze
und
für alle gelten.

Lösungsvorschlag von RolandU[edit]

Ist wahrscheinlich eh falsch, aber ich probiers mal..

Lösungsweg[edit]

Damit ich leichter Arbeiten kann, erschaffe ich eine neue Menge "S".

S = R x R

Unsere Problemstellung lautet nun: Ist ein Ring? Gehen wir also alle Voraussetzungen für Ringe durch:

  • ist sicher eine kommutative Gruppe, da schon eine ist und bei Operationen in R x R dieselben Regeln gelten müssen, wie in R selbst.
  • ist sicher eine Halbgruppe, da schon eine ist.
  • da in R die Distributivgesetze gelten, gelten sie auch in R x R.

Siehe Diskussion

Lösungsvorschlag von Lacce[edit]

Hab grad gesehen, dass das Beispel schon gelöst im Wiki steht: Beispiel 297

Ist echt nur stures nachrechnen - ich rechne es trotzdem mal vor..

Siehe Diskussion

Ich zeige gleich allgemeiner: Ist ein Ring, , so ist auch einer mit den Operationen:

Additive Gruppe [edit]

Abgeschlossenheit[edit]

für alle

Assoziativität[edit]

Einheitselement[edit]

Sei nun das Einheitselement von . Es ist Einheitselement von .

Inverse Elemente[edit]

, denn:

Kommutativität[edit]

Multiplikative Halbgruppe [edit]

Abgeschlossenheit[edit]

für alle

Assoziativität[edit]

Distributivgesetze[edit]