TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 476

Sei $V$ Vektorraum aller Funktionen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ über $K=\mathbb {R} ,W$ die Menge aller geraden Funktionen in $V$ , d. h. aller Funktionen $f$ , für die gilt: $f(x)=f(-x)$ , für alle $x\in \mathbb {R}$ .
Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist.

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\quad \langle V,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in aU,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 23:17, 28. Feb. 2026 (CET)

Sei $V$ Vektorraum aller Funktionen $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ über $K=\mathbb {R} ,W$ die Menge aller geraden Funktionen in $V$ , d. h. aller Funktionen $f$ , für die gilt: $f(x)=f(-x)$ , für alle $x\in \mathbb {R}$ .

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V$ über $K$ ist.

Gegeben: $V=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ und $W=\{f\in V\,\vert \,f(x)=f(-x),\,\forall x\in \mathbb {R} \}$ .

Nicht leer:

$W\neq \emptyset$ , da $f(x)=0\,\forall x\in \mathbb {R} ,\,f(x)=0=f(-x)\implies f\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich Addition:

Seien $f,\,g\in W\implies f(x)=f(-x),\,g(x)=g(-x)\,\forall \,x\in \mathbb {R} \implies \forall \,x\in \mathbb {R} \colon \,(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)\implies (f+g)\in W$ .

Abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation:

Sei $f\,\in W\implies f(x)=f(-x)\,\forall \,x\in \mathbb {R} ,\,\lambda \in \mathbb {R} \colon \,(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)=\lambda \cdot f(-x)=(\lambda \cdot f)(-x),\forall \,x\in \mathbb {R} \implies (\lambda \cdot f)\in W$ .

Da $W\neq \emptyset$ und abgeschlossen bezüglich Addition sowie abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation folgt $W\leq V$ . Somit ist $W$ ein Untervektorraum von $V$ . $\qquad \qquad \blacksquare$ .