TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 496

Zeigen Sie, daß die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},{\vec {x_{3}}}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn ${\vec {x_{1}}}-{\vec {x_{2}}},{\vec {x_{2}}},{\vec {x_{2}}}-{\vec {x_{3}}}$ linear unabhängig sind.

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Theoretische Grundlagen (von mnemetz)

Wir befinden uns in $\mathbb {R} ^{n}$ und betrachten:

• Vektoren: ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}\in \mathbb {R} ^{n}$
• Skalare: $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in \mathbb {R}$

Ein Vektor mit der Form ${\vec {y}}=\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}$ heißt Linearkombination der Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$.

Die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ heißen linear abhängig, wenn zumindest einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: ${\vec {x_{1}}}=\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\lambda _{3}*{\vec {x_{3}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}$

Andernfalls heißen ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren ${\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},\dots ,{\vec {x_{n}}}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: $\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\dots +\lambda _{n}*{\vec {x_{n}}}={\vec {0}}\Rightarrow \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dots =\lambda _{n}=0$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

$\lambda _{1}*{\vec {x_{1}}}+\lambda _{2}*{\vec {x_{2}}}+\lambda _{3}*{\vec {x_{3}}}={\vec {0}}$

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

$\mu _{1}*({\vec {x_{1}}}-{\vec {x_{2}}})+\mu _{2}*{\vec {x_{2}}}+\mu _{3}*({\vec {x_{2}}}-{\vec {x_{3}}})={\vec {0}}$

Wir multiplizieren das aus ...

$\mu _{1}*{\vec {x_{1}}}-\mu _{1}*{\vec {x_{2}}}+\mu _{2}*{\vec {x_{2}}}+\mu _{3}*{\vec {x_{2}}}-\mu _{3}*{\vec {x_{3}}}={\vec {0}}$

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

$\mu _{1}*{\vec {x_{1}}}+(\mu _{2}-\mu _{1}+\mu _{3})*{\vec {x_{2}}}-\mu _{3}*{\vec {x_{3}}}={\vec {0}}$

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

$\lambda _{1}=0\Rightarrow \mu _{1}=0$

$\lambda _{3}=0\Rightarrow \mu _{3}=0$

$\lambda _{2}=0\Rightarrow \mu _{2}-\mu _{1}+\mu _{3}=0\Rightarrow \mu _{2}=0$

$\mu _{1}=0\Rightarrow \lambda _{1}=0$

$\mu _{3}=0\Rightarrow \lambda _{3}=0$

$\mu _{2}=0\Rightarrow \mu _{2}-\mu _{1}+\mu _{3}=0\Rightarrow \lambda _{2}=0$

Ressourcen

Literatur

• Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
• Skriptum S. 80f.